Soạn Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học đầy đủ nhất

Để quá trình tiếp thu kiến thức mới trở nên dễ dàng và đạt hiệu quả nhất, trước khi bắt đầu bài học mới các em cần có sự chuẩn bị nhất định qua việc tổng hợp nội dung kiến thức lý thuyết trọng tâm, sử dụng những kiến thức hiện có thử áp dụng giải các bài toán, trả lời câu hỏi liên quan. Dưới đây chúng tôi đã soạn sẵn Lời giải Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học đầy đủ nhất - Toán 11, giúp các em tiết kiệm thời gian. Nội dung chi tiết được chia sẻ dưới đây.

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Câu hỏi ứng dụng:

Câu hỏi trang 80:

Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): “3ⁿ < n + 100” và Q(n): "2ⁿ > n" với n ∈ N*.

a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b) Với mọi n ∈ N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Hướng dẫn giải chi tiết:

a)

Xét P(n) : “3ⁿ < n + 100”:

+ Với n = 1, P(1) trở thành: “3¹ < 1 + 100”. Mệnh đề đúng vì 3¹ = 3 < 1 + 100 = 101.

+ Với n = 2, P(2) trở thành: “3² < 2 + 100”. Mệnh đề đúng vì 3² = 9 < 2 + 100.

+ Với n = 3, P(3) trở thành: “3³ < 3 + 100”. Mệnh đề đúng vì 3³ = 27 < 3 + 100.

+ Với n = 4, P(4) trở thành: “3⁴ < 4 + 100”. Mệnh đề đúng vì 3⁴ = 81 < 4 + 100.

+ Với n = 5, P(5) trở thành: “3⁵ < 5 + 100”. Mệnh đề sai vì 3⁵ = 243 > 5 + 100.

Xét Q(n): “2ⁿ > n”.

+ Với n = 1, Q(1) trở thành: “2¹ > 1”. Mệnh đề đúng vì 2¹ = 2 > 1.

+ Với n = 2, Q(2) trở thành: “2² > 2”. Mệnh đề đúng vì 2² = 4 > 2.

+ Với n = 3, Q(3) trở thành: “2³ > 3”. Mệnh đề đúng vì 2³ = 8 > 3.

+ Với n = 4, Q(4) trở thành: “2⁴ > 4”. Mệnh đề đúng vì 2⁴ = 16 > 4.

+ Với n = 5, Q(5) trở thành: “2⁵ > 5”. Mệnh đề đúng vì 2⁵ = 32 > 5.

b)

+ Nhận thấy P(n) không đúng với mọi n ∈ N* (sai với n = 5).

+ Với mọi n ∈ N*, Q(n) luôn đúng.

Câu hỏi trang 81:

Chứng minh rằng với n ∈ N* thì

Hướng dẫn giải chi tiết:

- Khi n = 1, VT = 1;

⇒ VT = VP , do đó đẳng thức đúng với n = 1.

- Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là:

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

Câu hỏi trang 82:

Cho hai số 3ⁿ và 8n với n ∈ N*.

a) So sánh 3ⁿ và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Hướng dẫn giải chi tiết:

a)

n = 1 ⇒ 3¹ = 3 < 8 = 8.1

n = 2 ⇒ 3² = 9 < 16 = 8.2

n = 3 ⇒ 3³ = 27 > 24 = 8.3

n = 4 ⇒ 3⁴ = 81 > 32 = 8.4

n = 5 ⇒ 3⁵ = 243 > 40 = 8.5

b)

Dự đoán kết quả tổng quát: 3ⁿ > 8n với mọi n ≥ 3

- n = 3, bất đẳng thức đúng

- Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là:

3^k > 8k

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

3^{(k + 1)} > 8(k + 1)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

3^{(k + 1)} = 3^k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k

k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8

Suy ra: 3^{(k + 1)} > 8k + 8 = 8(k + 1)

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 3

Bài tập ứng dụng:

Bài 1 (trang 82 SGK Đại số 11): 

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có các đẳng thức:

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) + Với n = 1, ta có:

VT = 3 – 1 = 2

⇒ VT = VP

⇒ (1) đúng với n = 1

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

2 + 5 + 8 + …+ (3k – 1) = k(3k + 1)/2. (*)

Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là :

Thật vậy :

Ta có :

b) + Với n = 1 :

Vậy (2) đúng với n = 1

+ Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là: 

Cần chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là: 

Thật vậy, ta có :

c) + Với n = 1 :

⇒ (3) đúng với n = 1

+ Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là :

Cần chứng minh (3) đúng khi n = k + 1, tức là:

Thật vậy:

Kiến thức áp dụng

Chứng minh mệnh đề (P) đúng với mọi n ∈ N bằng phương pháp quy nạp:

+ Kiểm tra mệnh đề (P) có đúng với n = 1 không.

+ Giả sử (P) đúng với n = k, cần chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.

Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11): 

Chứng minh rằng với n ∈ N*

a) n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3.

b) 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9

c) n³ + 11n chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) 

Cách 1: Quy nạp

Đặt A_n = n³ + 3n² + 5n

+ Ta có: với n = 1

A₁ = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

A_k = (k³ + 3k² + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh A_{k + 1} chia hết 3

Thật vậy, ta có:

A_{k + 1} = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1)

         = k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

         = (k³ + 3k² + 5k) + 3k² + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp: k³ + 3k² + 5k ⋮ 3

Mà 3k² + 9k + 9 = 3.(k² + 3k + 3) ⋮ 3

⇒ A_{k + 1} ⋮ 3.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n³ + 3n² + 5n

      = n.(n² + 3n + 5)

      = n.(n² + 3n + 2 + 3)

      = n.(n² + 3n + 2) + 3n

      = n.(n + 1)(n + 2) + 3n.

Mà: n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

3n ⋮ 3

⇒ n³ + 3n² + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.

Vậy n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

b) 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9

Đặt A_n = 4ⁿ + 15n – 1

với n = 1 ⇒ A₁ = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

A_k = (4^k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: A_{k + 1} chia hết 9

Thật vậy, ta có:

A_{k + 1} = 4^k+1 + 15(k + 1) – 1

         = 4.4^k + 15k + 15 – 1

         = 4.(4^k + 15k – 1) – 45k+ 4+ 15 – 1

         = 4.(4^k +15k- 1) – 45k + 18

         = 4. A_k + (- 45k + 18)

Ta có: A_k⋮ 9 và ( - 45k+ 18) = 9(- 5k + 2)⋮ 9

Nên A_{k + 1} ⋮ 9

Vậy 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

c)

Cách 1: Chứng minh quy nạp.

Đặt U_n = n³ + 11n

+ Với n = 1 ⇒ U₁ = 12 chia hết 6

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có:

U_k = (k³ + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: U_{k + 1} = (k + 1)³ + 11(k + 1) chia hết 6

Thật vậy ta có:

U_k+1 = (k + 1)³ + 11(k +1)

         = k³ + 3k² + 3k + 1 + 11k + 11

         = (k³ + 11k) + 3k² + 3k + 12

         = U_k + 3(k² + k + 4)

Mà: U_k ⋮ 6 (giả thiết quy nạp)

3.(k² + k + 4) ⋮ 6. (Vì k² + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2)

⇒ U_{k + 1} ⋮ 6.

Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n³ + 11n

= n³ – n + 12n

= n(n² – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n.

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3

⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.

Lại có: 12n ⋮ 6

⇒ n³ + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6.

Kiến thức áp dụng

Chứng minh mệnh đề (P) đúng với mọi n ∈ N bằng phương pháp quy nạp:

+ Kiểm tra mệnh đề (P) có đúng với n = 1 không.

+ Giả sử (P) đúng với n = k, cần chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.

►►Còn tiếp.....

►Tải trọn bộ hướng dẫn giải bài tập Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học tại đường link cuối bài.

Lý thuyết tổng hợp:

1. Để chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi n ∈ ℕ* bằng phương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành hai bước:

        ♦ Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.

        ♦ Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k (k ≥ 1) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n=k+1.

2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) thì:

        ♦ Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.

        ♦ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k (k ≥ p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên, tuy không phải là chứng minh, nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giả thiết, và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học.

File tải hướng dẫn giải Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học Toán 11:

Hy vọng tài liệu sẽ hữu ích cho các em học sinh và quý thầy cô tham khảo và đối chiếu đáp án chính xác.

►Ngoài ra các em học sinh và thầy cô có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu hữu ích hỗ trợ ôn luyện thi môn toán như đề kiểm tra, hướng dẫn giải sách giáo khoa, vở bài tập được cập nhật liên tục tại chuyên trang của chúng tôi.