Tính đơn điệu của hàm số: Lý thuyết và các dạng bài tập đầy đủ nhất
Tính đơn điệu của hàm số là gì? Mời các bạn cùng tham khảo ngay cách xác định tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số từ cơ bản đến nâng cao được chuyên trang chúng tôi tổng hợp đầy đủ nhất.
Lý thuyết tính đơn điệu của hàm số
Tính đơn điệu của hàm số là một chủ đề quan trọng trong các bài kiểm tra, thi lên lớp và đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia môn Toán. Do đó các em học sinh cần nắm chắc kiến thức nội dung này và làm thành thạo các dạng bài tập để tự tin trước bất cứ câu hỏi nào.
Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.
- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.
- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.
Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
- Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
- Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
- Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.
Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước
Dưới đây là cách tìm tính đơn điệu của hàm số đơn giản và hiệu quả nhất, mời các bạn tham khảo:
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)
- Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.
- Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận
Các bài tập trắc nghiệm xét tính đơn điệu của hàm số có lời giải chi tiết
Tổng hợp chi tiết các dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác, hàm số chứa căn, hàm số bậc 4, hàm số chứa tham số, hàm số có trị tuyệt đối, hàm số logarit...vv trong chuyên đề tính đơn điệu của hàm số gồm 8 dạng toán nhằm giúp các em học sinh củng cố và nắm vững kiến thức nội dung này để làm tốt các bài tập một cách nhanh nhất.
Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên, đồ thị
Câu 1: (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số
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Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
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C.
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![](data:image/svg+xml;utf8,<svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.68ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4278.7 1000">
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Câu 2: (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho hàm số
![](data:image/svg+xml;utf8,<svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.498ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4640.2 1000">
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Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
![](data:image/svg+xml;utf8,<svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.68ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4278.7 1000">
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B. Hàm số đồng biến trên khoảng
![](data:image/svg+xml;utf8,<svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.789ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3000.7 1000">
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C. Hàm số đồng biến trên khoảng
![](data:image/svg+xml;utf8,<svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.92ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3500.7 1000">
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D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
![](data:image/svg+xml;utf8,<svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.029ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2222.7 1000">
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Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước
Câu 11: (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng
![](data:image/svg+xml;utf8,<svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.811ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4778.7 1000">
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A.
![](data:image/svg+xml;utf8,<svg style="vertical-align: -1.738ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.312ex" height="4.774ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 4558 2110">
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Câu 12: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số
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A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng
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C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
![](data:image/svg+xml;utf8,<svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.68ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4278.7 1000">
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D. Hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 13: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng
A.
![](data:image/svg+xml;utf8,<svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.586ex" height="2.481ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -891.7 5563.1 1096.7">
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Câu 14: (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số
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A. Hàm số đồng biến trên khoảng
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B. Hàm số nghịch biến trên khoảng
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
![](data:image/svg+xml;utf8,<svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.92ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3500.7 1000">
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D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
![](data:image/svg+xml;utf8,<svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.92ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3500.7 1000">
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Câu 15: (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Hỏi hàm số
![](data:image/svg+xml;utf8,<svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.436ex" height="2.481ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -891.7 5054.6 1096.7">
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Câu 16: (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số
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A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
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B. Hàm số nghịch biến trên khoảng
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C. Hàm số đồng biến trên khoảng
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó
Dạng 4. Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước
Dạng 5. Tìm m để hàm số bậc 3 dơn điệu trên khoảng cho trước
Dạng 6. Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng cho trước
Dạng 7. Tìm khoảng đơn điệu của hàm siis f(u) khi biết đồ thị hàm số f'(x)
Dạng 8. Tìm kkhoanr đơn điệu của hàm số f(u)+g(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f'(x)
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