Giải SBT Toán 11 trang 153, 154, 155 tập 1: Giới hạn của dãy số

Giải SBT Toán lớp 11 trang 153, 154, 155 tập 1: Giới hạn của dãy số đầy đủ, hỗ trợ các em học sinh củng cố kiến thức và hiểu rõ phương pháp giải các dạng bài tập trong sách bài tập.

2.8

2 lượt đánh giá

Giải SBT Toán 11 bài 1: Giới hạn của dãy số, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ rèn luyện giải bài tập Toán nhanh và chính xác hơn.

Giải bài 1 SBT Toán 11 trang 153 Đại số và Giải tích

Biết rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số (v_n) với v_n=|u_n| cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúng không?

Giải:

Vì (u_n) có giới hạn là 0 nên |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Mặt khác, |v_n|=|u_n|=|u_n|. Do đó, |v_n| cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy, (v_n) có giới hạn là 0.

(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).

Giải bài 2 Toán 11 trang 153 SBT Đại số và Giải tích

Vì sao dãy số (u_n) với u_n=(−1)ⁿ không thể có giới hạn là 0 khi n→+∞?

Giải:

Vì |u_n|=∣(−1)ⁿ∣=1 nên |u_n| không thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Chẳng hạn, |u_n| không thể nhỏ hơn 0,5 với mọi n.

Do đó, dãy số (u_n) không thể có giới hạn là 0.

Giải bài 3 Toán 11 trang 153 Đại số và Giải tích SBT

Cho biết dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số (v_n) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số (u_n+v_n) có thể có giới hạn hữu hạn không?

Giải:

Dãy (u_n+v_n) không có giới hạn hữu hạn.

Thật vậy, giả sử ngược lại, (u_n+v_n) có giới hạn hữu hạn.

Khi đó, các dãy số (u_n+v_n) và (u_n) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúng cũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là u_n+v_n−u_n=v_n có giới hạn hữu hạn. Điều này trái với giả thiết (v_n) không có giới hạn hữu hạn.

Giải bài 4 Toán 11 SBT trang 153 Đại số và Giải tích

a) Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Biết limu_n=−∞ và v_n≤u_n với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy (v_n) khi n→+∞?

b) Tìm vn với v_n=−n!

Giải:

a) Vì limu_n=−∞ nên lim(−u_n)=+∞. Do đó, (−u_n) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)

Mặt khác, vì v_n≤u_n với mọi n nên (−v_n)≥(−u_n) với mọi n. (2)

Từ (1) và (2) suy ra (−v_n) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, lim(−v_n)=+∞ hay limv_n=−∞

b) Xét dãy số (u_n)=−n

Ta có - n! < - n hay v_n<u_n với mọi n. Mặt khác, limu_n=lim(−n)=−∞

Từ kết quả câu a) suy ra limv_n=lim(−n!)=−∞

Giải bài 5 SBT trang 153 Đại số và Giải tích Toán 11

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n→+∞

a) a_n=2n−3n³+1/n³+n²

b) b_n=3n³−5n+1/n²+4

c) c_n=2n√n/n²+2n−1

d) d_n=(2−3n)³(n+1)²/1−4n⁵

e) u_n=2ⁿ+1/n

f) v_n=(−√2/π)n+3ⁿ/4ⁿ

g) u_n=3ⁿ−4ⁿ+1/2.4ⁿ+2ⁿ

Giải:

a) -3 ; b) +∞ ; c) 0 ; d) 27/4

e) lim(2ⁿ+1/n)=lim2ⁿ(1+1/n.1/2ⁿ)=+∞

f) 0; g) −1/2; h) - 1;

Giải bài 6 SBT trang 154 Toán 11 Đại số và Giải tích

Tính các giới hạn sau :

a) lim(n²+2n−5);

b) lim(−n³−3n²−2);

c) lim[4ⁿ+(−2)ⁿ]

d) limn

Giải:

a) +∞;

b) -∞;

c) +∞;

d) −3/2;

Giải bài 7 SBT Toán 11 trang 154 Đại số và Giải tích

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Chứng minh rằng nếu limv_n=0 và |u_n|≤v_n với mọi n thì limu_n=0

Giải:

limv_n=0⇒|v_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)

Vì |u_n|≤v_n và v_n≤|v_n| với mọi n, nên |u_n|≤|v_n| với mọi n. (2)

Từ (1) và (2) suy ra |u_n| cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là limu_n=0

Giải bài 8 SBT Toán 11 Đại số và Giải tích trang 154

Biết |uⁿ−2|≤1/3ⁿ. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (u_n)?

Giải:

limu_n=2

Giải bài 9 SBT Đại số và Giải tích Toán 11 trang 154

Nếu limv_n=0 và |u_n|≤v_n với mọi n thì limu_n=0. Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:

a) u_n=1n!

b) u_n=(−1)ⁿ/2n−1

c) u_n=2−n(−1)ⁿ/1+2n²

d) u_n=(0,99)ⁿcosn

e) u_n=5ⁿ−cos√nπ

Giải:

a) Vì ∣1/n!∣<1/n với mọi n và lim 1/n=0 nên lim 1/n!=0

b) 0 ; c) 0 ; d) 0 ;

e) Ta có u_n=5ⁿ−cos√nπ=5ⁿ(1−cos√nπ/5ⁿ) (1)

Vì ∣cos√nπ/5ⁿ∣≤1/5ⁿ| và lim1/5ⁿ=0 nên lim cos√nπ/5ⁿ=0

Do đó, lim(1−cos√nπ/5ⁿ)=1>0 (2)

Mặt khác, lim5ⁿ=+∞ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra lim(5ⁿ−cos√nπ)=lim5ⁿ(1−cos√nπ/5ⁿ)=+∞

Giải bài 10 Đại số và Giải tích Toán SBT 11 trang 155

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212... (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

Giải:

Giải tương tự Ví dụ 13, ta có a=34,121212...=1126/33

CLICK NGAY vào TẢI VỀ dưới đây để download hướng dẫn Giải SBT Toán 11 trang 153, 154, 155 file word, pdf hoàn toàn miễn phí.

Đánh giá bài viết

2.8

2 lượt đánh giá

Tham khảo thêm: