Giải SBT Toán 11 trang 163, 164, 165 tập 1: Giới hạn của hàm số

Giải SBT Toán lớp 11 trang 163, 164, 165 tập 1 Giới hạn của hàm số đầy đủ, hỗ trợ các em học sinh củng cố kiến thức và hiểu rõ phương pháp giải các dạng bài tập trong sách bài tập

2.8

2 lượt đánh giá

Giải SBT Toán 11 bài 2: Giới hạn của hàm số, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ có kết quả cao hơn trong học tập.

Giải bài 1 SBT Toán 11 trang 163 Đại số và Giải tích

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn

a) lim_x→5x+3/x−3

b) lim_x→+∞x³+1/x²+1

Giải:

a) - 4 ; b) + ∞

Giải bài 2 Toán 11 trang 163 Đại số và Giải tích SBT

a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx không có giới hạn khi x→+∞

b) Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a).

Giải:

a) Xét hai dãy số (a_n) với a_n=2nπ và (b_n) với (b_n)=π/2+2nπ(n∈N∗)

Ta có, lima_n=lim2nπ=+∞

limb_n=lim(π/2+2nπ)

=limn(π/2n+2π)=+∞

limsina_n=limsin2nπ=lim0=0

limsinb_n=limsin(π/2+2nπ)=lim1=1

Như vậy, an→+∞,bn→+∞ nhưng limsina_n≠limsinb_n. Do đó, theo định nghĩa, hàm số y=sinx không có giới hạn khi x→+∞

Giải bài 3 Toán 11 trang 163 SBT Đại số và Giải tích

Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) cùng xác định trên khoảng (−∞,a). Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu lim_x→−∞f(x)=L và lim_x→−∞g(x)=M thì lim_x→−∞f(x).g(x)=L.M

Giải:

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thoả mãn x_n<ax và x_n→−∞

Vì lim_x→−∞f(x)=L nên lim_n→+∞f(x_n)=L

Vì lim_x→−∞g(x)=M nên lim_n→+∞g(x_n)=M

Do đó, limn_→+∞f(xn).g(xn)=L.M

Từ định nghĩa suy ra lim_x→−∞f(x).g(x)=L.M

Giải bài 4 Toán 11 SBT trang 163 Đại số và Giải tích

Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a) f(x)=x²−2x−3/x−1 khi x→3;

b) h(x)=2x³+15/(x+2)² khi x→−2;

c) k(x)= khi x→−∞;

d) f(x)=x³+x²+1 khi x→−∞

e) h(x)=x−15/x+2 khi x→−2+ và khi x→−2−

Giải:

a) 0;

b) −∞;

c) lim_x→−∞

=lim_x→−∞|x|

=lim_x→−∞=+∞

d) lim_x→−∞(x³+x²+1)=lim_x→−∞x³(1+1/x+1/x³)=−∞

e) −∞ và +∞

Giải bài 5 SBT trang 163 Đại số và Giải tích Toán 11

Tính các giới hạn sau:

a) lim_x→−3x+3/x²+2x−3

b) lim_x→0(1+x)³−1/x

c) lim_x→+∞x−1/x²−1

d) lim_x→5x−5/√x−√5

e) lim_x→+∞=x−5/√x+√5

f) lim_x→−2√x2+5−3/x+2

g) lim_x→1√x−1/√x+3−2

h) lim_x→+∞1−2x+3x³/x³−9

i) lim_x→01/x².(1/x²+1.−1)

j) lim_x→−∞(x²−1)(1−2x)⁵/x⁷+x+3

Giải:

a) lim_x→−3x+3/x²+2x−3=lim_x→−3x+3/(x−1)(x+3)=lim_x→−31/x−1=−1/4

lim_x→0(1+x)³−1/x

=lim_x→0(1+x−1)[(1+x)²+(1+x)+1]/x

=lim_x→0x[(1+x)²+(1+x)+1]/x

=lim_x→0[(1+x)²+(1+x)+1]=3

c) lim_x→+∞x−1/x²−1=lim_x→+∞

d) lim_x→5x−5/√x−√5

=lim_x→5(√x−√5)(√x+√5)/√x−√5

=lim_x→5(√x+√5)=2√5

lim_x→+∞x−5/√x+√5

=lim_{x→+∞=+∞}

(Vì 1/√x+√5/x>0 với mọi x>0).

f) lim_x→−2√x2+5−3/x+2

=lim_x→−2x²+5−9/(x+2)(√x²+5+3)

=lim_x→−2(x−2)(x+2)/(x+2)(√x²+5+3)

=lim_x→−2x−2/√x²+5+3=−2/3

lim_x→1√x−1/√x+3−2

=lim_x→1(√x−1)(√x+3+2)/x+3−4

=lim_x→1(√x−1)(√x+3+2)/x−1

=lim_x→1(√x−1)(√x+3+2)/(√x−1)(√x+1)

=lim_x→1√x+3+2/√x+1=2

h) lim_x→+∞1−2x+3x³/x³−9=limx→+∞

lim_x→01/x²(1/x²+1−1)

=lim_x→01/x².(−x²/x²+1)

=lim_x→0−1/x²+1=−1

lim_x→−∞(x²−1)(1−2x)⁵/x⁷+x+3

=lim_x→−∞x²(1−1/x²).x⁵(1/x−2)⁵/x⁷+x+3

=lim_x→−∞(1−1/x²)(1/x−2)⁵/1+1/x⁶+3/x⁷

=(−2)⁵=−32

Giải bài 5 SBT trang 164 Toán 11 Đại số và Giải tích

Tính giới hạn của các hàm số sau khi x→+∞ và khi x→−∞

a) f(x)=

b) f(x)=x+

c) f(x)=

Giải:

a) Khi x→+∞

lim_x→+∞=lim_x→+∞

=lim_x→+∞=lim_x→+∞

Khi x→−∞

x_→−∞/x+2=lim_x→−∞|x|/x+2

=lim_x→−∞−x/x+2=lim_x→−∞

b) Khi x→+∞

lim_x→+∞(x+)

=lim_x→+∞

=lim_x→+∞x=+∞

Khi x→−∞

lim_x→−∞(x+)

=lim_x→−∞

c) Khi x→+∞

lim_x→+∞()

=lim_x→+∞

Khi x→−∞

lim_x→−∞

=lim_x→−∞

=_{limx→−∞}

Giải bài 6 SBT Toán 11 trang 164 Đại số và Giải tích

Cho hàm số f(x)=2x²−15x+12/x²−5x+4 có đồ thị như hình 4

a) Dựa vào đồ thị, dự đoán giới hạn của hàm f(x) số khi x→1⁺;x→1⁻;x→4⁺;x→4⁻;x→+∞;x→−∞

b) Chứng minh dự đoán trên.

Giải:

a) Dự đoán:

lim_x→1+f(x)=+∞;lim_x→1−f(x)=−∞;lim_x→4+f(x)=−∞;

lim_x→4−f(x)=+∞;lim_x→+∞f(x)=2;lim_x→−∞f(x)=2.

b) Ta có

lim_x→1+(2x²−15x+12)=−1<0,lim_x→1+(x²−5x+4)=0

và x²−5x+4<0 với mọi x∈(1;4) nên lim_x→1+2x²−15x+12/x²−5x+4=+∞

Vì

lim_x→1−(2x²−15x+12)=−1<0,

lim_x→1−(x²−5x+4)=0

và x²−5x+4>0 với mọi x < 1 nên lim_x→1−2x²−15x+12/x²−5x+4=−∞

Vì

lim_x→4+(2x²−15x+12)=−16<0,

lim_x→4+(x²−5x+4)=0

và x²−5x+4>0 với mọi x > 4 nên lim_x→4+2x²−15x+12/x²−5x+4=−∞

Vì

lim_x→4−(2x²−15x+12)=−16<0,

lim_x→4−(x²−5x+4)=0

và x²−5x+4<0 với mọi x∈(1;4) nên lim_x→4−2x²−15x+12/x²−5x+4=+∞

lim_x→+∞2x²−15x+12/x²−5x+4=lim_x→+∞

lim_x→−∞2x²−15x+12/x²−5x+4=lim_x→−∞

Giải bài 7 SBT Toán 11 Đại số và Giải tích trang 164

Cho hàm số

Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn khi x→1? Tìm giới hạn này.

Giải:

lim_x→1+f(x)=lim_x→1+(1/x−1−3/x3−1)

=lim_x→1+x²+x−2/(x−1)(x²+x+1)

=lim_x→1+(x−1)(x+2)/(x−1)(x²+x+1)

=lim_x→1+x+2/x²+x+1=1

lim_x→1−f(x)=lim_x→1−(mx+2)=m+2

f(x) có giới hạn khi x→1⇔m+2=1⇔m=−1. Khi đó lim_x→1f(x)=1

Giải bài 8 SBT Toán 11 trang 164 Đại số và Giải tích

Cho khoảng K,x₀∈K và hàm số y=f(x) xác định trên K∖{x₀}

Chứng minh rằng nếu lim_x→x0f(x)=+∞ thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc K∖{x₀} sao cho f(c)>0

Giải:

Vì lim_x→x0f(x)=+∞ nên với dãy số (x_n) bất kì, x_n∈K∖{x₀} và x_n→x₀ ta luôn có lim_n→+∞f(x_n)=+∞

Từ định nghĩa suy ra f(x_n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì f(x_n)>1 kể từ một số hạng nào đó trởđi.

Nói cách khác, luôn tồn tạiít nhất một số x_k∈K∖{x_o} sao cho f(x_k)>1.

Đặt c=x_k ta có f(c)>0

Giải bài 9 Đại số và Giải tích SBT Toán 11 trang 165

Cho hàm số xác định trên khoảng (a;+∞)

Chứng minh rằng nếu lim_x→+∞f(x)=−∞ thì luôn tồn tại ít nhất một sốc thuộc (a;+∞) sao cho f(c)<0

Giải:

Vì lim_x→+∞f(x)=−∞ nên với dãy số (x_n) bất kì, x_n>a và x_n→+∞ ta luôn có lim_n→+∞f(x)=−∞

Do đó lim_n→+∞[−f(x_n)]=+∞

Theo định nghĩa suy ra −f(x_n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 2 thì −f(x_n)>2 kể từ một số hạng nàođó trởđi.

Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số x_k∈(a;+∞) sao cho −f(x_k)>2 hay f(x_k)<−2<0

Đặt c=x_k ta có f(c)<0

CLICK NGAY vào TẢI VỀ dưới đây để download hướng dẫn Giải SBT Toán 11 trang 163, 164, 165 file word, pdf hoàn toàn miễn phí.

Đánh giá bài viết

2.8

2 lượt đánh giá

Tham khảo thêm: