Giải SBT Toán 11 trang 153, 154, 155 tập 1: Giới hạn của dãy số

Giải SBT Toán 11 bài 1: Giới hạn của dãy số, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ rèn luyện giải bài tập Toán nhanh và chính xác hơn.

Giải bài 1 SBT Toán 11 trang 153 Đại số và Giải tích

Biết rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số (v_n) với v_n=|u_n| cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúng không?

Giải:

Vì (u_n) có giới hạn là 0 nên |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Mặt khác, |v_n|=|u_n|=|u_n|. Do đó, |v_n| cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy, (v_n) có giới hạn là 0.

(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).

Giải bài 2 Toán 11 trang 153 SBT Đại số và Giải tích

Vì sao dãy số (u_n) với u_n=(−1)ⁿ không thể có giới hạn là 0 khi n→+∞?

Giải:

Vì |u_n|=∣(−1)ⁿ∣=1 nên |u_n| không thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Chẳng hạn, |u_n| không thể nhỏ hơn 0,5 với mọi n.

Do đó, dãy số (u_n) không thể có giới hạn là 0.

Giải bài 3 Toán 11 trang 153 Đại số và Giải tích SBT

Cho biết dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số (v_n) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số (u_n+v_n) có thể có giới hạn hữu hạn không?

Giải:

Dãy (u_n+v_n) không có giới hạn hữu hạn.

Thật vậy, giả sử ngược lại, (u_n+v_n) có giới hạn hữu hạn.

Khi đó, các dãy số (u_n+v_n) và (u_n) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúng cũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là u_n+v_n−u_n=v_n có giới hạn hữu hạn. Điều này trái với giả thiết (v_n) không có giới hạn hữu hạn.

Giải bài 4 Toán 11 SBT trang 153 Đại số và Giải tích

a) Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Biết limu_n=−∞ và v_n≤u_n với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy (v_n) khi n→+∞?

b) Tìm vn với v_n=−n!

Giải:

a) Vì limu_n=−∞ nên lim(−u_n)=+∞. Do đó, (−u_n) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)

Mặt khác, vì v_n≤u_n với mọi n nên (−v_n)≥(−u_n) với mọi n. (2)

Từ (1) và (2) suy ra (−v_n) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, lim(−v_n)=+∞ hay limv_n=−∞

b) Xét dãy số (u_n)=−n

Ta có - n! < - n hay v_n<u_n với mọi n. Mặt khác, limu_n=lim(−n)=−∞

Từ kết quả câu a) suy ra limv_n=lim(−n!)=−∞

Giải bài 5 SBT trang 153 Đại số và Giải tích Toán 11

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n→+∞

a) a_n=2n−3n³+1/n³+n²

b) b_n=3n³−5n+1/n²+4

c) c_n=2n√n/n²+2n−1

d) d_n=(2−3n)³(n+1)²/1−4n⁵

e) u_n=2ⁿ+1/n

f) v_n=(−√2/π)n+3ⁿ/4ⁿ

g) u_n=3ⁿ−4ⁿ+1/2.4ⁿ+2ⁿ

h) 

Giải:

a) -3 ; b) +∞ ; c) 0 ; d) 27/4

e) lim(2ⁿ+1/n)=lim2ⁿ(1+1/n.1/2ⁿ)=+∞

f) 0; g) −1/2; h) - 1;

Giải bài 6 SBT trang 154 Toán 11 Đại số và Giải tích

Tính các giới hạn sau :

a) lim(n²+2n−5);

b) lim(−n³−3n²−2);

c) lim[4ⁿ+(−2)ⁿ]

d) limn

Giải:

a) +∞;

b) -∞;

c) +∞;

d) −3/2;

Giải bài 7 SBT Toán 11 trang 154 Đại số và Giải tích

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Chứng minh rằng nếu limv_n=0 và |u_n|≤v_n với mọi n thì limu_n=0

Giải:

limv_n=0⇒|v_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)

Vì |u_n|≤v_n và v_n≤|v_n| với mọi n, nên |u_n|≤|v_n| với mọi n. (2)

Từ (1) và (2) suy ra |u_n| cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là limu_n=0

Giải bài 8 SBT Toán 11 Đại số và Giải tích trang 154

Biết |uⁿ−2|≤1/3ⁿ. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (u_n)?

Giải:

limu_n=2

Giải bài 9 SBT Đại số và Giải tích Toán 11 trang 154

Nếu limv_n=0 và |u_n|≤v_n với mọi n thì limu_n=0. Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:

a) u_n=1n!

b) u_n=(−1)ⁿ/2n−1

c) u_n=2−n(−1)ⁿ/1+2n²

d) u_n=(0,99)ⁿcosn

e) u_n=5ⁿ−cos√nπ

Giải:

a) Vì ∣1/n!∣<1/n với mọi n và lim 1/n=0 nên lim 1/n!=0

b) 0 ; c) 0 ; d) 0 ;

e) Ta có u_n=5ⁿ−cos√nπ=5ⁿ(1−cos√nπ/5ⁿ) (1)

Vì ∣cos√nπ/5ⁿ∣≤1/5ⁿ| và lim1/5ⁿ=0 nên lim cos√nπ/5ⁿ=0

Do đó, lim(1−cos√nπ/5ⁿ)=1>0 (2)

Mặt khác, lim5ⁿ=+∞ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra lim(5ⁿ−cos√nπ)=lim5ⁿ(1−cos√nπ/5ⁿ)=+∞

Giải bài 10 Đại số và Giải tích Toán SBT 11 trang 155

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212... (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

Giải:

Giải tương tự Ví dụ 13, ta có a=34,121212...=1126/33

CLICK NGAY vào TẢI VỀ dưới đây để download hướng dẫn Giải SBT Toán 11 trang 153, 154, 155 file word, pdf hoàn toàn miễn phí.