Giải SBT Toán 11 bài 2: Giới hạn của hàm số, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ có kết quả cao hơn trong học tập.
Dùng định nghĩa tìm các giới hạn
a) limx→5x+3/x−3
b) limx→+∞x3+1/x2+1
Giải:
a) - 4 ; b) + ∞
a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx không có giới hạn khi x→+∞
b) Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a).
Giải:
a) Xét hai dãy số (an) với an=2nπ và (bn) với (bn)=π/2+2nπ(n∈N∗)
Ta có, liman=lim2nπ=+∞
limbn=lim(π/2+2nπ)
=limn(π/2n+2π)=+∞
limsinan=limsin2nπ=lim0=0
limsinbn=limsin(π/2+2nπ)=lim1=1
Như vậy, an→+∞,bn→+∞ nhưng limsinan≠limsinbn. Do đó, theo định nghĩa, hàm số y=sinx không có giới hạn khi x→+∞
Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) cùng xác định trên khoảng (−∞,a). Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu limx→−∞f(x)=L và limx→−∞g(x)=M thì limx→−∞f(x).g(x)=L.M
Giải:
Giả sử (xn) là dãy số bất kì thoả mãn xn<ax và xn→−∞
Vì limx→−∞f(x)=L nên limn→+∞f(xn)=L
Vì limx→−∞g(x)=M nên limn→+∞g(xn)=M
Do đó, limn→+∞f(xn).g(xn)=L.M
Từ định nghĩa suy ra limx→−∞f(x).g(x)=L.M
Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a) f(x)=x2−2x−3/x−1 khi x→3;
b) h(x)=2x3+15/(x+2)2 khi x→−2;
c) k(x)= khi x→−∞;
d) f(x)=x3+x2+1 khi x→−∞
e) h(x)=x−15/x+2 khi x→−2+ và khi x→−2−
Giải:
a) 0;
b) −∞;
c) limx→−∞
=limx→−∞|x|
=limx→−∞=+∞
d) limx→−∞(x3+x2+1)=limx→−∞x3(1+1/x+1/x3)=−∞
e) −∞ và +∞
Tính các giới hạn sau:
a) limx→−3x+3/x2+2x−3
b) limx→0(1+x)3−1/x
c) limx→+∞x−1/x2−1
d) limx→5x−5/√x−√5
e) limx→+∞=x−5/√x+√5
f) limx→−2√x2+5−3/x+2
g) limx→1√x−1/√x+3−2
h) limx→+∞1−2x+3x3/x3−9
i) limx→01/x2.(1/x2+1.−1)
j) limx→−∞(x2−1)(1−2x)5/x7+x+3
Giải:
a) limx→−3x+3/x2+2x−3=limx→−3x+3/(x−1)(x+3)=limx→−31/x−1=−1/4
b)
limx→0(1+x)3−1/x
=limx→0(1+x−1)[(1+x)2+(1+x)+1]/x
=limx→0x[(1+x)2+(1+x)+1]/x
=limx→0[(1+x)2+(1+x)+1]=3
c) limx→+∞x−1/x2−1=limx→+∞
d) limx→5x−5/√x−√5
=limx→5(√x−√5)(√x+√5)/√x−√5
=limx→5(√x+√5)=2√5
e)
limx→+∞x−5/√x+√5
=limx→+∞=+∞
(Vì 1/√x+√5/x>0 với mọi x>0).
f) limx→−2√x2+5−3/x+2
=limx→−2x2+5−9/(x+2)(√x2+5+3)
=limx→−2(x−2)(x+2)/(x+2)(√x2+5+3)
=limx→−2x−2/√x2+5+3=−2/3
g)
limx→1√x−1/√x+3−2
=limx→1(√x−1)(√x+3+2)/x+3−4
=limx→1(√x−1)(√x+3+2)/x−1
=limx→1(√x−1)(√x+3+2)/(√x−1)(√x+1)
=limx→1√x+3+2/√x+1=2
h) limx→+∞1−2x+3x3/x3−9=limx→+∞
i)
limx→01/x2(1/x2+1−1)
=limx→01/x2.(−x2/x2+1)
=limx→0−1/x2+1=−1
j)
limx→−∞(x2−1)(1−2x)5/x7+x+3
=limx→−∞x2(1−1/x2).x5(1/x−2)5/x7+x+3
=limx→−∞(1−1/x2)(1/x−2)5/1+1/x6+3/x7
=(−2)5=−32
Tính giới hạn của các hàm số sau khi x→+∞ và khi x→−∞
a) f(x)=
b) f(x)=x+
c) f(x)=
Giải:
a) Khi x→+∞
limx→+∞=limx→+∞
=limx→+∞=limx→+∞
Khi x→−∞
x→−∞/x+2=limx→−∞|x|
/x+2
=limx→−∞−x/x+2=limx→−∞
b) Khi x→+∞
limx→+∞(x+)
=limx→+∞
=limx→+∞x=+∞
Khi x→−∞
limx→−∞(x+)
=limx→−∞
=limx→−∞
=limx→−∞
=limx→−∞
=limx→−∞
c) Khi x→+∞
limx→+∞()
=limx→+∞
=limx→+∞
=limx→+∞
Khi x→−∞
limx→−∞
=limx→−∞
=limx→−∞
=limx→−∞
Cho hàm số f(x)=2x2−15x+12/x2−5x+4 có đồ thị như hình 4
a) Dựa vào đồ thị, dự đoán giới hạn của hàm f(x) số khi x→1+;x→1−;x→4+;x→4−;x→+∞;x→−∞
b) Chứng minh dự đoán trên.
Giải:
a) Dự đoán:
limx→1+f(x)=+∞;limx→1−f(x)=−∞;limx→4+f(x)=−∞;
limx→4−f(x)=+∞;limx→+∞f(x)=2;limx→−∞f(x)=2.
b) Ta có
limx→1+(2x2−15x+12)=−1<0,limx→1+(x2−5x+4)=0
và x2−5x+4<0 với mọi x∈(1;4) nên limx→1+2x2−15x+12/x2−5x+4=+∞
Vì
limx→1−(2x2−15x+12)=−1<0,
limx→1−(x2−5x+4)=0
và x2−5x+4>0 với mọi x < 1 nên limx→1−2x2−15x+12/x2−5x+4=−∞
Vì
limx→4+(2x2−15x+12)=−16<0,
limx→4+(x2−5x+4)=0
và x2−5x+4>0 với mọi x > 4 nên limx→4+2x2−15x+12/x2−5x+4=−∞
Vì
limx→4−(2x2−15x+12)=−16<0,
limx→4−(x2−5x+4)=0
và x2−5x+4<0 với mọi x∈(1;4) nên limx→4−2x2−15x+12/x2−5x+4=+∞
limx→+∞2x2−15x+12/x2−5x+4=limx→+∞
limx→−∞2x2−15x+12/x2−5x+4=limx→−∞
Giải bài 7 SBT Toán 11 Đại số và Giải tích trang 164
Cho hàm số
Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn khi x→1? Tìm giới hạn này.
Giải:
limx→1+f(x)=limx→1+(1/x−1−3/x3−1)
=limx→1+x2+x−2/(x−1)(x2+x+1)
=limx→1+(x−1)(x+2)/(x−1)(x2+x+1)
=limx→1+x+2/x2+x+1=1
limx→1−f(x)=limx→1−(mx+2)=m+2
f(x) có giới hạn khi x→1⇔m+2=1⇔m=−1. Khi đó limx→1f(x)=1
Cho khoảng K,x0∈K và hàm số y=f(x) xác định trên K∖{x0}
Chứng minh rằng nếu limx→x0f(x)=+∞ thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc K∖{x0} sao cho f(c)>0
Giải:
Vì limx→x0f(x)=+∞ nên với dãy số (xn) bất kì, xn∈K∖{x0} và xn→x0 ta luôn có limn→+∞f(xn)=+∞
Từ định nghĩa suy ra f(xn) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì f(xn)>1 kể từ một số hạng nào đó trởđi.
Nói cách khác, luôn tồn tạiít nhất một số xk∈K∖{xo} sao cho f(xk)>1.
Đặt c=xk ta có f(c)>0
Cho hàm số xác định trên khoảng (a;+∞)
Chứng minh rằng nếu limx→+∞f(x)=−∞ thì luôn tồn tại ít nhất một sốc thuộc (a;+∞) sao cho f(c)<0
Giải:
Vì limx→+∞f(x)=−∞ nên với dãy số (xn) bất kì, xn>a và xn→+∞ ta luôn có limn→+∞f(x)=−∞
Do đó limn→+∞[−f(xn)]=+∞
Theo định nghĩa suy ra −f(xn) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 2 thì −f(xn)>2 kể từ một số hạng nàođó trởđi.
Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số xk∈(a;+∞) sao cho −f(xk)>2 hay f(xk)<−2<0
Đặt c=xk ta có f(c)<0
CLICK NGAY vào TẢI VỀ dưới đây để download hướng dẫn Giải SBT Toán 11 trang 163, 164, 165 file word, pdf hoàn toàn miễn phí.