Giải SBT toán 11 trang 37, 38 tập 1: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Giải SBT Toán 11 bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp, tài liệu kèm theo lời giải chi tiết sẽ là nguồn thông tin hữu ích để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn. Mời các bạn học sinh tham khảo.

Giải bài 1 Toán 11 Đại số và Giải tích trang 37 SBT

Giải các phương trình sau

a) cos2x−sinx−1=0

b) cosxcos2x=1+sinxsin2x

c) 4sinxcosxcos2x=−1

d) tanx=3cotx

Giải:

a)

cos2x−sinx−1=0

⇔1−2sin²x−sinx−1=0

⇔sinx(2sinx+1)=0

b)

cosxcos2x=1+sinxsin2x

⇔cosxcos2x−sinxsin2x=1

⇔cos3x=1⇔3x=k2π

⇔x=k2π/3, k∈Z

c)

4sinxcosxcos2x=−1

⇔2sin2xcos2x=−1

⇔sin4x=−1

⇔4x=−π/2+k2π, k∈Z

⇔x=−π/8+kπ/2, k∈Z

d)

tanx=3cotx. Điều kiện cosx ≠0 và sinx ≠0.

Ta có:

tanx=3/tanx

⇔tan²x=3

⇔tanx=±√3

⇔x=±π/3+kπ, k∈Z

Các phương trình này thỏa mãn điều kiện của phương trình nên là nghiệm của phương trình đã cho.

Giải bài 2 Toán 11 Đại số và Giải tích SBT trang 37

Giải các phương trình sau

a) sinx+2sin3x=−sin5x

b) cos5xcosx=cos4x

c) sinxsin2xsin3x=1/4sin4x

d) sin4x+cos4x=−1/2cos²2x

Giải:

a)

sinx+2sin3x=−sin5x

⇔sin5x+sinx+2sin3x=0

⇔2sin3xcos2x+2sin3x=0

⇔2sin3x(cos2x+1)=0

⇔4sin3xcos²x=0

b)

cos5xcosx=cos4x

⇔1/2(cos6x+cos4x)=cos4x

⇔cos6x=cos4x

⇔6x=±4x+k2π,k∈Z

⇔[2x=k2π,k∈Z;10x=k2π,k∈Z⇔[x=kπ, k∈Z;x=kπ/5, k∈Z

Tập {kπ, k ∈ Z} chứa trong tập {l.π/5, l∈Z} ứng với các giá trị l là bội số của 5, nên nghiệm của phương trình là: x=kπ5,k∈Z

c)

sinxsin2xsin3x=1/4sin4x

⇔sinxsin2xsin3x=1/2sin2xcos2x

⇔sin2x(cos2x−2sinxsin3x)=0

⇔sin2xcos4x=0

d)

sin⁴x+cos⁴x=−1/2cos²2x

⇔(sin²x+cos²x)²−2sin²xcos²x=−1/2cos²2x

⇔1−1/2sin²2x+1/2cos²2x=0

⇔1+1/cos4x=0

⇔cos4x=−2

Phương trình vô nghiệm (Vế phải không dương với mọi x trong khi vế trái dương với mọi x nên phương trình đã cho vô nghiệm).

Giải bài 3 Toán 11 SBT Đại số và Giải tích trang 37

Giải các phương trình sau

a) 3cos²x−2sinx+2=0

b) 5sin²x+3cosx+3=0

c) sin⁶x+cos⁶x=4cos²2x

d) −1/4+sin²x=cos⁴x

Giải:

a)

3cos2x−2sinx+2=0

⇔3(1−sin²x)−2sinx+2=0

⇔3sin²x+2sinx−5=0

⇔(sinx−1)(3sinx+5)=0

⇔sinx=1

⇔x=π/2+k2π,k∈Z

b)

5sin²x+3cosx+3=0

⇔5(1−cos²x)+3cosx+3=0

⇔5cos²x−3cosx−8=0

⇔(cosx+1)(5cosx−8)=0

⇔cosx=−1

⇔x=(2k+1)π,k∈Z

c)

sin⁶x+cos⁶x=4cos²2x

⇔(sin²x+cos²x)³−3sin²xcos²x(sin²x+cos²x)=4cos²2x

⇔1−3/4sin²2x=4cos²2x

⇔1−3/4(1−cos²2x)=4cos²2x

⇔13/4cos²2x=1/4

⇔13(1+cos4x/2)=1

⇔1+cos4x=2/13

⇔cos4x=−11/13

⇔4x=±arccos(−11/13)+k2π, k∈Z

⇔x=±14arccos(−11/13)+kπ/2, k∈Z

d)

−1/4+sin²x=cos⁴x

⇔−1/4+1−cos2x/2=1+cos2x/2)²⇔−1+2−2cos2x=1+2cos2x+cos²2x

⇔cos²2x+4cos2x=0

⇔[cos2x=0;cos2x=−4 (Vônghiệm)

⇔2x=π/2+kπ, k∈Z

⇔x=π/4+k.π/2, k∈Z

Giải bài 4 SBT Toán 11 Đại số và Giải tích trang 37

Giải các phương trình sau

a) 2tanx−3cotx−2=0

b) cos²x=3sin2x+3

c) cotx−cot2x=tanx+1

Giải:

a) 2tanx−3cotx−2=0 Điều kiện cosx ≠0 và sinx ≠0

Ta có

2tanx−3/tanx−2=0

⇔2tan²x−2tanx−3=0

⇔tanx=1±√7/2

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình

b) cos²x=3sin2x+3

Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠0, chia hai vế của phương trình cho cos²x ta được:

1=6tanx+3(1+tan²x)

⇔3tan²x+6tanx+2=0

⇔tanx=−3±√3/3

c) cotx−cot2x=tanx+1 (1)

Điều kiện: sinx ≠0 và cosx ≠0. Khi đó:

(1)⇔cosx/sinx−cos2x/sin2x=sinx/cosx+1

⇔2cos²x−cos2x=2sin²x+sin2x

⇔2(cos²x−sin²x)−cos2x=sin2x

⇔cos2x=sin2x

⇔tan2x=1

⇒2x=π/4+kπ, k∈Z

⇒x=π/8+k.π/2, k∈Z(1)

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình

Giải bài 5 SBT Đại số và Giải tích Toán 11 trang 38

Giải các phương trình sau

a) cos²x+2sinxcosx+5sin²x=2

b) 3cos²x−2sin2x+sin²x=1

c) 4cos²x−3sinxcosx+3sin²x=1

Giải:

a) cos²x+2sinxcosx+5sin²x=2

Rõ ràng cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠0, chia hai vế cho cos²x ta được:

1+2tanx+5tan²x=2(1+tan²x)

⇔3tan²x+2tanx−1=0

b) 3cos²x−2sin2x+sin²x=1

Với cosx = 0 ta thấy hai vế đều bằng 1. Vậy phương trình có nghiệm x=π/2+kπ, k∈Z

Trường hợp cosx ≠0, chia hai vế cho cos²x ta được:

3−4tanx+tan²x=1+tan²x

⇔4tanx=2

⇔tanx=1/2

⇔x=arctan1/2+kπ, k∈Z

Vậy nghiệm của phương trình là x=π/2+kπ, k∈Z và x=arctan1/2+kπ, k∈Z

c) 4cos²x−3sinxcosx+3sin²x=1

Rõ ràng cosx ≠0, chia hai vế của phương trình cho cos²x ta được:

4−3tanx+3tan²x=1+tan²x

⇔2tan²x−3tanx+3=0

Phương trình cuối vô nghiệm đối với tanx, do đó phương trình đã cho vô nghiệm

Giải bài 6 SBT Đại số và Giải tích trang 38 Toán 11

Giải các phương trình sau

a) 2cosx−sinx=2

b) sin5x+cos5x=−1

c) 8cos⁴x−4cos2x+sin4x−4=0

d) sin⁶x+cos⁶x+1/2sin4x=0

Giải:

a)

2cosx−sinx=2

⇔√5(2/√5cosx−1/√5.sinx)=2

Kí hiệu α là góc mà cosα=2/√5 và sinα=−1/√5, ta được phương trình

cosαcosx+sinαsinx=2/√5

⇔cos(x−α)=cosα

⇔x−α=±α+k2π,k∈Z

⇔[x=2α+k2π,k∈Z;x=k2π,k∈Z

b)

sin5x+cos5x=−1

⇔√2(√2/2sin5x+√2/2cos5x)=−1

⇔cosπ/4sin5x+sinπ/4cos5x=−√2/2

⇔sin(5x+π/4)=sin(−π/4)

c)

8cos⁴x−4cos2x+sin4x−4=0

⇔8(1+cos2x/2)²−4cos2x+sin4x−4=0

⇔2(1+2cos2x+cos²2x)−4cos2x+sin4x−4=0

⇔2cos²2x+sin4x−2=0

⇔1+cos4x+sin4x−2=0

⇔cos4x+sin4x=1

⇔sin(4x+π/4)=sin.π/4

d)

sin⁶x+cos⁶x+1/2sin4x=0

⇔(sin²x+cos²x)³−3sin²xcos²x(sin²x+cos²x)+1/2sin4x=0

⇔1−3sin²xcos²x+1/2sin4x=0

⇔1−3(sin2x/2)²+1/2sin4x=0

⇔1−3/4.sin²2x+1/2sin4x=0

⇔1−3/4.1−cos4x/2+1/2sin4x=0

⇔8−3+3cos4x+4sin4x=0

⇔3cos4x+4sin4x=−5

⇔3/5cos4x+4/5sin4x=−1

Kí hiệu α là cung mà sinα=3/5,cosα=4/5 ta được:

⇔sin(4x+α)=−1

⇔4x+α=3π/2, k∈Z

⇔x=3π/8−α/4+k.π/2, k∈Z

Giải bài 7 SBT trang 38 Đại số và Giải tích Toán 11

Giải các phương trình sau:

a) 1+sinx−cosx−sin2x+2cos2x=0

b) sinx−1/sinx=sin²x−1/sin²x

c) cosxtan3x=sin5x

d) 2tan²x+3tanx+2cot²x+3cotx+2=0

Giải:

a) 1+sinx−cosx−sin2x+2cos2x=0 (1)

Ta có:

1−sin2x=(sinx−cosx)²;

2cos2x=2(cos²x−sin²x)

=−2(sinx−cosx)(sinx+cosx)

Vậy

(1)⇔(sinx−cosx)(1+sinx−cosx−2sinx−2cosx)=0

⇔(sinx−cosx)(1−sinx−3cosx)=0

trong đó, cosα=3/√10, sinα=1/√10

b) sinx−1/sinx=sin²x−1/sin²x (2)

Điều kiện sinx ≠0

(2)⇔(sinx−sin²x)+(1/sin²x−1/sinx)=0

⇔sinx(1−sinx)+1−sinx/sin²x=0

⇔(1−sinx)(sin³x+1)=0

⇔[sinx=1;sinx=−1⇒x=π/2+kπ, k∈Z

(thỏa mãn điều kiện)

c) cosxtan3x=sin5x(3)

Điều kiện: cos3x ≠0. Khi đó,

(3)⇔cosxsin3x=cos3xsin5x

⇔1/2(sin4x+sin2x)=1/2(sin8x+sin2x)

⇔sin8x=sin4x

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:

x=kπ,k∈Z và x=π/12+k.π/6, k∈Z

d) 2tan²x+3tanx+2cot²x+3cotx+2=0 (4)

Điều kiện: cosx ≠0 và sinx ≠0. Khi đó,

(4)⇔2(tan²x+cot²x)+3(tanx+cotx)+2=0

⇔2[(tanx+cotx)²−2]+3(tanx+cotx)+2=0

Đặt t = tanx + cotx ta được phương trình

2t²+3t−2=0⇒t=−2,t=1/2

Với t = -2 ta có tanx + cotx = -2

⇔tan²x+2tanx+1=0⇒tanx=−1

⇒x=−π/4+kπ, k∈Z

(thỏa mãn điều kiện)

Với t=1/2 ta có tanx+cotx=1/2⇔2tan²x−tanx+2=0

Phương trình này vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình (4) là x=−π/4+kπ, k∈Z

Giải bài 8 trang 36 SBT Đại số và Giải tích Toán 11

Giải phương trình

cotx−tanx+4sin2x=2/sin2x

Giải:

Hướng dẫn: Đối với những phương trình lượng giác chứa tanx, cotx, sin2x hoặc cos2x, ta có thể đưa về phương trình chứa cosx, sinx, sin2x, hoặc cos2x ngoài ra cũng có thể đặt ẩn phụ t = tanx để đưa về một phương trình theo t.

Cách 1: Điều kiện của phương trình:

sin2x≠0⇔cos2x≠±1 (1)

Ta có:

cotx−tanx+4sin2x=2/sin2x

⇔cosx/sinx−sinx/cosx+4sin2x−2/sin2x=0

⇔cos²x−sin²x/sinx.cosx+4sin2x−2/sin2x=0

⇔2cos2x/sin2x+4sin2x−2/sin2x=0

⇔2cos2x+4sin²2x−2=0

⇔cos2x+2(1−cos²2x)−1=0

⇔2cos²2x−cos2x−1=0

⇔[cos2x=1(loại);cos2x=−1;2

⇔2x=±2π/3+k2π, k∈Z

⇔x=±π/3+kπ, k∈Z

Cách 2. Đặt t = tanx

Điều kiện t ≠0

Phương trình đã cho có dạng

1/t−t+4.2t/1+t²=1+t²/t

⇔1−t²/t+8t/1+t²−1+t²/t=0

⇔1−t⁴+8t²−(1+t²)²=0

⇔−2t⁴+8t²−2t²=0

⇔t⁴−3t²=0

⇒t²(t³−3)=0

⇔[t=0(loại do(2));t=±√3

tanx=±√3⇔x=±π/3+kπ, k∈Z

CLICK NGAY vào TẢI VỀ dưới đây để download hướng dẫn Giải SBT Toán 11 trang 35, 36 file word, pdf hoàn toàn miễn phí.