Giải Toán Hình lớp 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng trang 70, 72, 73, 74, 80, 81

Mời các em học sinh và quý thầy cô tham khảo hướng dẫn Giải Toán Hình 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng trang 70, 72, 73, 74, 80, 81 chính xác nhất, được đội ngũ chuyên gia biên soạn đầy đủ và ngắn gọn dưới đây.

Giải bài tập Toán Hình 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Trả lời câu hỏi Toán 12 Hình học Bài 2 trang 70: 

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm tọa độ một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

AB→ = (2;1;-2); AC→ = (-12;6;0)

[AB→, AC→ ] = (12;24;24)

⇒ một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là n→(1;2;2)

Trả lời câu hỏi Toán 12 Hình học Bài 2 trang 72: 

Hãy tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α): 4x – 2y - 6z +7 = 0.

Lời giải:

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n→(4; -2; -6)

Trả lời câu hỏi Toán 12 Hình học Bài 2 trang 72: 

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) với M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).

Lời giải:

MN→ = (3;2;1); MP→ = (1;-1;-1)

[MN→, MP→ ] = (-1;4;-5)

⇒ Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) là n→(1;-4;5)

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) với M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)là : (x-1)-4(y-1)+5(z-1)=0

Hay x - 4y + 5z - 2 = 0

Trả lời câu hỏi Toán 12 Hình học Bài 2 trang 73: 

Nếu B = 0 hoặc C = 0 thì mặt phẳng (α) có đặc điểm gì ?

Lời giải:

B = 0 ⇒ mặt phẳng (α) // hoặc chứa trục Oy ; C = 0 ⇒ mặt phẳng (α) // hoặc chứa trục Oz

Trả lời câu hỏi Toán 12 Hình học Bài 2 trang 74: 

Nếu A = C = 0 và B ≠ 0 hoặc nếu B = C = 0 và A ≠ 0 thì mặt phẳng (α) có đặc điểm gì?

Lời giải:

A = C = 0 và B ≠ 0 ⇒ mặt phẳng (α) // hoặc trùng với (Oxz)

B = C = 0 và A ≠ 0 ⇒ mặt phẳng (α) // hoặc trùng với (Oyz)

Trả lời câu hỏi Toán 12 Hình học Bài 2 trang 74: 

Cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình

(α): x - 2y + 3z + 1 = 0

(β): 2x – 4y + 6z + 1 = 0.

Có nhận xét gì về vecto pháp tuyến của chúng ?

Lời giải:

n_α→ = (1;-2;3); n_β→ = (2;-4;6)

Hai vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là hai vecto tỉ lệ

Trả lời câu hỏi Toán 12 Hình học Bài 2 trang 80: 

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β) cho bởi các phương trình sau đây:

(α): x – 2 = 0

(β): x – 8 = 0.

Lời giải:

Ta có (α)//(β)

Lấy M (8;0;0) ∈ (β)

d((α),(β)) = d(M,(α)) = |8 - 2|/√1² = 6

Bài 1 (trang 80 SGK Hình học 12): 

Viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận n→ = (2 ; 3 ; 5) làm vec tơ pháp tuyến

b) Đi qua A(0; -1; 2) và song song với giá của mỗi vec tơ u→ = (3; 2; 1) và v→ = (-3; 0; 1).

c) Đi qua ba điểm A(-3; 0; 0); B(0; -2; 0) và C(0; 0; -1).

Lời giải:

a) Mặt phẳng đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận n→ = (2; 3; 5) làm vectơ pháp tuyến là:

2(x – 1) + 3(y + 2) + 5(z – 4) = 0

⇔ 2x + 3y + 5z – 16 = 0.

b) Mặt phẳng nhận u→ và v→ là vec tơ chỉ phương

⇒ nhận  = (2.1 – 1.0 ; 1.(-3) – 3.1 ; 3.0 – (-3).2) = (2; -6; 6) là vec tơ pháp tuyến.

Mặt phẳng đi qua A(0 ; -1 ; 2) nên có phương trình :

2(x – 0) – 6(y + 1) + 6(z – 2) = 0

⇔ 2x – 6y + 6z – 18 = 0

⇔ x – 3y + 3z – 9 = 0.

c) Cách 1:

Mặt phẳng (R) đi qua ba điểm A, B, C nhận  là hai vec tơ chỉ phương

⇒ Nhận  = ((-2).(-1) – 0; 0.3 – 3.(-1); 3.0 – 3.(-2)) = (2; 3; 6) là vec tơ pháp tuyến.

(R) đi qua A(-3; 0; 0) nên có phương trình:

2(x + 3) + 3y + 6z = 0

⇔ 2x + 3y + 6z + 6 = 0.

Cách 2 :

(R) đi qua A(-3 ; 0 ; 0) ; B(0 ; -2 ; 0) ; C(0 ; 0 ; -1) nên có phương trình đoạn chắn là :

⇔ 2x + 3y + 6z + 6 = 0.

Kiến thức áp dụng

+ Phương trình mặt phẳng đi qua M(x₀ ; y₀ ; z₀) và nhận n→ = (a ; b ; c) là vec tơ pháp tuyến :

a(x – x₀) + b(y – y₀) + c(z – z₀) = 0.

+ Tích có hướng của u→ = (a₁; a₂; a₃) và v→ = (b₁; b₂; b₃) là:

 = (a₂b₃ – a₃b₂; a₃b₁ – a₁b₃; a₁b₂ – a₂b₁).

Tích có hướng  vuông góc với mỗi vec tơ u→ ; v→

+ Mặt phẳng cắt các trục Ox; Oy; Oz lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0); C(0; 0; c) có dạng:  được gọi là phương trình đoạn chắn.

Bài 2 (trang 80 SGK Hình học 12): Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3)

Lời giải:

Kiến thức áp dụng

+ Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung điểm và vuông góc với AB (nhận  là vectơ pháp tuyến).

Bài 3 (trang 80 SGK Hình học 12):

a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz và Ozx

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

a) Mặt phẳng Oxy là tập hợp các điểm có cao độ z = 0 nên có phương trình: z = 0.

Tương tự:

Mặt phẳng Oyz: x = 0

Mặt phẳng Ozx: y = 0.

b) Phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 6; -3) và song song với (Oxy): z + 3 = 0

Phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 6; -3) và song song với (Oyz): x – 2 = 0

Phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 6; -3) và song song với (Ozx): y – 6 = 0.

Bài 4 (trang 80 SGK Hình học 12): Lập phương trình mặt phẳng:

a)Chứa trục Ox và điểm P(4; -1; 2)

b)Chứa trục Oy và điểm Q(1; 4; -3)

c)Chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7)

Lời giải:

a) (P) chứa Ox và điểm P(4; -1; 2).

+ (P) chứa Ox ⇒ nhận i→ = (1; 0; 0) là 1 vtcp

+ (P) chứa O(0 ; 0 ; 0) và P(4 ; -1 ; 2) ⇒ nhận  = ( 4 ; -1 ; 2) là 1 vtcp

⇒ (P) nhận  = (0; -2; -1) là 1 vtpt

⇒ (P): -2.(y – 0) – 1.(z – 0) = 0

hay (P) : 2y + z = 0.

b) (Q) chứa trục Oy và điểm Q(1; 4; -3)

+ (Q) chứa Oy ⇒ nhận j→ = (0; 1; 0) là 1 vtcp).

+ (Q) chứa O(0 ; 0 ; 0) và Q(1 ; 4 ; -3) ⇒ nhận  = ( 1 ; 4 ; -3) là 1 vtcp

⇒ (Q) nhận  = (-3; 0; -1) là 1 vtpt

⇒ (Q): -3(x – 0) – 1.(z – 0) = 0

hay (Q): 3x + z = 0.

c) (R) chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7)

+ (R) chứa Oz ⇒ nhận k→ = (0; 0; 1) là 1 vtcp.

+ (R) chứa O(0 ; 0 ; 0) và R(3 ; -4 ; 7) ⇒ nhận  = ( 3 ; -4 ; 7) là 1 vtcp

⇒ (R) nhận  = (4; 3; 0) là 1 vtpt

⇒ (R): 4(x – 0) + 3.(y – 0) = 0

hay (R): 4x + 3y = 0.

Kiến thức áp dụng

+ Phương trình mặt phẳng đi qua M(x₀ ; y₀ ; z₀) và nhận n→ = (a ; b ; c) là vec tơ pháp tuyến :

a(x – x₀) + b(y – y₀) + c(z – z₀) = 0.

+ Tích có hướng của u→ = (a₁; a₂; a₃) và v→ = (b₁; b₂; b₃) là:

 = (a₂b₃ – a₃b₂; a₃b₁ – a₁b₃; a₁b₂ – a₂b₁).

Tích có hướng  vuông góc với mỗi vec tơ u→ ; v

Bài 5 (trang 80 SGK Hình học 12): Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)

a)Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD)

b)Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.

Lời giải:

Kiến thức áp dụng

+ Phương trình mặt phẳng đi qua M(x₀ ; y₀ ; z₀) và nhận n→ = (a ; b ; c) là vec tơ pháp tuyến :

a(x – x₀) + b(y – y₀) + c(z – z₀) = 0.

+ Tích có hướng của u→ = (a₁; a₂; a₃) và v→ = (b₁; b₂; b₃) là:

 = (a₂b₃ – a₃b₂; a₃b₁ – a₁b₃; a₁b₂ – a₂b₁).

Bài 6 (trang 80 SGK Hình học 12): Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2; -1; 2) và song song với mặt phẳng (β) : 2x – y + 3z + 4 = 0

Lời giải:

Vì mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng ( β) : 2x – y + 3z + 4 = 0 nên phương trình của mp(α) có dạng 2x – y + 3z + D = 0

Vì M(2; -1; 2) ∈ mp(α) nên 4 + 1 + 6 + D = 0 <=> D = -11

Vậy phương trình của mp(α) là: 2x – y + 3z - 11= 0

Kiến thức áp dụng

+ Mặt phẳng (P) nhận n₁→ là 1 vtpt; mặt phẳng (Q) nhận n₂→ là 1 vtpt

(P) // (Q) ⇔ 

Do đó: phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng: ax + by + cz + d = 0 luôn có dạng: ax + by + cz + d’ = 0.

Bài 7 (trang 80 SGK Hình học 12): Lập phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng ( β) : 2x – y + z – 7 = 0

Lời giải:

Kiến thức áp dụng

+ Phương trình mặt phẳng đi qua M(x₀ ; y₀ ; z₀) và nhận n→ = (a ; b ; c) là vec tơ pháp tuyến :

a(x – x₀) + b(y – y₀) + c(z – z₀) = 0.

+ Tích có hướng của u→ = (a₁; a₂; a₃) và v→ = (b₁; b₂; b₃) là:

 = (a₂b₃ – a₃b₂; a₃b₁ – a₁b₃; a₁b₂ – a₂b₁).

Tích có hướng  vuông góc với mỗi vec tơ u→ ; v

Bài 8(trang 81 SGK Hình học 12): Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau;

a)2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z + 2 =0

b)3x – 5y + mz – 3 = 0 và 2x + ny – 3z + 1 = 0

Lời giải:

Kiến thức áp dụng

+ Mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 và mặt phẳng (Q): a’x + b’y + c’z + d’ = 0

Bài 9 (trang 81 SGK Hình học 12): Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) 2x – y + 2z – 9 = 0 (α)

b) 12x – 5z + 5 = 0 ( β)

c) x = 0 ( γ;)

Lời giải:

Kiến thức áp dụng

+ Khoảng cách từ A(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (α): ax + by + cz + d = 0 là:

Bài 10 (trang 81 SGK Hình học 12): giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.

a)Chứng minh hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song.

b)Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O ≡ A; 

⇒ A(0; 0; 0) ; B(1; 0; 0); C(1; 1; 0); D(0; 1; 0).

A’(0; 0; 1); B’(1; 0; 1); C’(1; 1; 1); D’(0; 1; 1).

a)

⇒ Vectơ pháp tuyến của (AB’D’) là:

⇒ Vectơ pháp tuyến của (BC’D) là:

⇒ (AB’D’) // (BC’D).

b) Mặt phẳng (BC’D) có VTPT  (1;1; -1) và qua B (1; 0;0) nên có phương trình:

1( x- 1) + 1( y – 0) - 1( z- 0)= 0 hay x + y - z - 1 = 0

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (AB’D’) và (BC’D) chính là khoảng cách từ A đến (BC’D) và bằng :

Kiến thức áp dụng

+ Mặt phẳng (P) nhận  là 1 vtpt; mặt phẳng (Q) nhận  là 1 vtpt

+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trong mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Lý thuyết Toán Hình lớp 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    • Vectơ n→ ≠ 0→ là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n→ vuông góc với mặt phẳng (α)

    • Chú ý:

    - Nếu n→ là một VTPT của mặt phẳng (α) thì kn→ cũng là một VTPT của mặt phẳng (α).

    - Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.

    - Nếu u→, v→ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α) thì n→ = [u→, v→] là một VTPT của (α)

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

    - Trong không gian Oxy , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:

    Ax + By + Cz + D = 0 với A² + B² + C² ≠ 0

    - Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một VTPT là n→(A; B; C).

    - Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M_o(x_o; y_o; z_o) và nhận vectơ n→(A; B; C) khác 0→ là VTPT là: A(x - x_o) + B(y - y_o) + C(z - z_o) = 0 .

    • Các trường hợp riêng

    Xét phương trình mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 với A² + B² + C² ≠ 0

    - Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.

    - Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.

    - Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.

    - Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.

    - Nếu A = B = 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).

    - Nếu A = C = 0, B ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).

    - Nếu B = C = 0, A ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).

    Chú ý:

    - Nếu trong phương trình (α) không chứa ẩn nào thì (α) song song hoặc chứa trục tương ứng.

    - Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (α): . Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) với abc ≠ 0.

III. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

    • Trong không gian Oxyz, cho điểm M_o(x_o; y_o; z_o) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0

    Khi đó khoảng cách từ điểm M_o đến mặt phẳng (α) được tính:

IV. Góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và (β): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

    Góc giữa (α) và (β) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n_α→, n_β→. Tức là:

B. Kĩ năng giải bài tập

    Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng

    Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.

    Phương pháp giải

    Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

    Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua 1 điểm M_o(x_o; y_o; z_o) và song song với 1 mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0 cho trước.

    Phương pháp giải

    Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

    1. VTPT của (β) là n_β→ = (A; B; C)

    2. (α) // (β) nên VTPT của mặt phẳng (α) là n_α→ = n_β→ = (A; B; C)

    3. Phương trình mặt phẳng (α): A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

    Cách 2:

    1. Mặt phẳng (α) // (β) nên phương trình (P) có dạng: Ax + By + Cz + D' = 0 (*), với D' ≠ D.

    2. Vì (P) qua 1 điểm M_o(x_o; y_o; z_o) nên thay tọa độ M_o(x_o; y_o; z_o) vào (*) tìm được D'.

    Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

    Phương pháp giải

    1. Tìm tọa độ các vectơ: AB→, AC→

    2. Vectơ pháp tuyến của (α) là: n_α→ = [AB→, AC→]

    3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C).

    4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT n_α→

    Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng Δ

    Phương pháp giải

    1. Tìm VTCP của Δ là u_Δ→

    2. Vì (α) ⊥ Δ nên (α) có VTPT n_α→ = u_Δ→

    3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT n_α→

    Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ, vuông góc với mặt phẳng (β)

    Phương pháp giải

    1. Tìm VTPT của (β) là n_β→

    2. Tìm VTCP của Δ là u_Δ→

    3. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [n_β→; u_Δ→]

    4. Lấy một điểm M trên Δ

    5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

    Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β)

    Phương pháp giải

    1. Tìm VTPT của (β) là n_β→

    2. Tìm tọa độ vectơ AB→

    3. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [n_β→, AB→]

    4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

    Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với Δ' (Δ, Δ' chéo nhau).

    Phương pháp giải

    1. Tìm VTCP của Δ và Δ' là u_Δ→ và u_Δ'→

    2. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [u_Δ→, u_Δ'→]

    3. Lấy một điểm M trên Δ

    4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

    Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α)hứa đường thẳng Δ và 1 điểm M

    Phương pháp giải

    1. Tìm VTCP của Δ là u_Δ→, lấy 1 điểm N trên Δ. Tính tọa độ MN→

    2. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [u_α→; MN→]

    3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

    Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa 2 đường thẳng cắt nhau Δ và Δ'

    Phương pháp giải

    1. Tìm VTCP của Δ và Δ' là u_Δ→ và u_Δ'→

    2. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [u→_Δ; u_Δ'→]

    3. Lấy một điểm M trên Δ

    4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

    Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa 2 song song Δ và Δ'

    Phương pháp giải

    1. Tìm VTCP của Δ và Δ' là u_Δ→ và u_Δ'→, lấy M ∈ Δ, N ∈ Δ'

    2. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [u_Δ→; MN→]

    3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

    Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua một điểm M và song song với hai đường thẳng Δ và Δ' chéo nhau cho trước.

    Phương pháp giải

    1. Tìm VTCP của Δ và Δ’ là u_Δ→ và u_Δ'→

    2. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [u_Δ→; u_Δ'→]

    3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

    Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua một điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước.

    Phương pháp giải

    1. Tìm VTPT của (P) và (Q) là n_P→ và n_Q→

    2. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [n_P→; n_Q→]

    3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

    Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β) và cách (β): Ax + By + Cz + D = 0 một khoảng k cho trước.

    Phương pháp giải

    1. Trên mặt phẳng (β) chọn 1 điểm M.

    2. Do (α) // (β) nên (α) có phương trình Ax + By + Cz + D' = 0 (D' ≠ D).

    3. Sử dụng công thức khoảng cách d((α), (β)) = d(M, (β)) = k để tìm D'.

    Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0 cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.

    Phương pháp giải

    1. Do (α) // (β) nên (α) có phương trình Ax + By + Cz + D' = 0 (D' ≠ D).

    2. Sử dụng công thức khoảng cách d(M, (α)) = k để tìm D'.

    Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S).

    Phương pháp giải

    1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S)

    2. Nếu mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M ∈ (S) thì mặt phẳng (α) đi qua điểm M và có VTPT là MI→

    3. Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm được VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 (D chưa biết).

    Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d(I,(α)) = R để tìm D.

    Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa một đường thẳng Δ và tạo với một mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0 cho trước một góc φ cho trước.

    Phương pháp giải

    1. Tìm VTPT của (β) là n_β→

    2. Gọi n_α→(A'; B'; C')

    3. Dùng phương pháp vô định giải hệ: 

    4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

►►CLICK NGAY vào nút TẢI VỀ dưới đây để tải về Giải Toán Hình lớp 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng trang 70, 72, 73, 74, 80, 81 file PDF hoàn toàn miễn phí.