Giải toán lớp 11 trang 103, 104 SGK tập 1: Cấp số nhân

Giải bài tập Toán lớp 11: Cấp số nhân, nội dung tài liệu gồm 6 bài tập trang 103, 104 sách giáo khoa Toán lớp 11 kèm theo lời giải chi tiết sẽ giúp các bạn học sinh giải nhanh bài tập một cách hiệu quả nhất. Mời thầy cô cùng các bạn học sinh cùng tham khảo.

Giải bài 1 trang 103 SGK đại số lớp 11

Chứng minh các dãy số 

 là các cấp số nhân.

Hướng dẫn giải

 là cấp số nhân  với 

Công bội 

Lời giải:

Để chứng minh dãy (u_n) là cấp số nhân thì ta chứng minh:

u_n+1 = u_n.q với n ∈ N*

(q là công bội cấp số nhân)

Xét 

=> u_n+1 = 2 x u_n. Vậy 

 là cấp số nhân với công bội q = 2.

Với 

Xét 

Vậy 

 là cấp số nhân với công bội 

Xét 

Vậy 

 là cấp số nhân với công bội 

Giải bài 2 SGK đại số lớp 11 trang 103

Cho cấp số nhân (

) với công bội q

a. Biết u₁ = 2, u₆ = 486. Tìm q

b. Biết q = 2/3 , u₄ = 8/21. Tìm u₁

c. Biết u₁ = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?

Hướng dẫn giải

Số hạng thứ n của cấp số nhân được tính bằng công thức 

trong đó n là số nguyên thỏa mãn 

- Công bội khi đó là: 

 hoặc 

 trong đó n là số nguyên thỏa mãn 

Lời giải:

a. Theo công thức un = u₁.q^n-1, thay n = 6 ta được:

u₆ = u_1.q₅ = 2.q₅ = 486

q₅ = 243 = 3⁵ => q = 3

b. Ta có:

c. Biết u₁ = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số thứ mấy?

Ta có: u_n = u1.q^n-1 = 192

q^n-1 = 192/u₁ = 192/3 = 64

(-2)ⁿ = - 128 = (-2)⁷ => n = 7

Vậy số 192 là số hạng thứ 7.

Giải bài 3 đại số lớp 11 SGK trang 103

Tìm các số hạng của cấp số nhân (

) có năm số hạng, biết:

a. u₃ = 3 và u₅ = 27

b. u₄ – u₂ = 25 và u₃ – u₁ = 50

Hướng dẫn giải

Số hạng thứ n của cấp số nhân được tính bằng công thức 

trong đó n là số nguyên thỏa mãn 

- Theo đề bài ra ta được hệ phương trình ẩn 

. Giải hệ phương trình ta tìm được dãy số cần tìm. Thay n = 1, 2, 3, 4, 5 ta tìm được 5 số hạng đầu dãy.

Lời giải:

a. Ta có: un = u₁q^n-1

Vậy q = ± 3.

+ Cấp số nhân (u_n) có công bội q có thể viết dưới dạng:

u₁, u₁q, u₁q₂,…,u₁.q^n-1

Với q = 3 ta có cấp số: 1/3 , 1, 3, 9, 27

Với q = - 3 ta có cấp số: 1/3 , -1, 3, -9, 27

Giải bài 4 lớp 11 đại số trang 104 SGK

Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Hướng dẫn giải

• Số hạng thứ n của cấp số nhân được tính bằng công thức 
  
  trong đó n là số nguyên thỏa mãn 
  
  .
• Tổng n số hạng của cấp số nhân 
  
• Áp dụng công thức trên ta được hệ phương trình ẩn 
  
  . Giải hệ phương trình ta tìm được cấp số nhân.

Lời giải:

Gọi u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆ là cấp số nhân của 6 số hạng.

+ Tổng của 5 số hạng đầu là 31 và 5 số hạng sau là 62, nghĩa là:

Ta có: (2) – (1) <=> u6 - u1 = 31

Mà u₆ = u₁.q^6-1 = u₁.q⁵

=> u₁.q⁵ - u₁ = 31 <=> u₁(q⁵ – 1) = 31 (3)

Mặt khác, tổng của 5 số hạng đầu là:

=> q – 1 = 1 => q = 2. Tính ra ta được u₁ = 1.

Với u_n = u₁q^n-1

=> u₂ = 2; u₃ = 4, u₄ = 8, u₅ = 16, u₆ = 32

Vậy cấp số nhân cần tìm là: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Giải bài 5 trang 104 lớp 11 đại số sách giáo khoa

Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh x là 1,4%. Biết rằng dân số của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm thì dân số của tỉnh đó tăng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Cấp số nhân 

 có số hạng đầu tiên  và công bội q thì số hạng thứ n: với mọi 

Lời giải:

Theo tỷ lệ tăng dân số 1,4% thì dân số hàng năm của tỉnh x là các số hạng của cấp số nhân với công bội q = 1 + 14/1000 = 1.014

Và số hạng đầu u₁ = 1,8 triệu

Theo công thức: u_n = u₁q^n-1

=> Dân số của tỉnh x sau 5 năm sau là:

u₆ = 1,8.(1.014)5 ≈ 1.9 triệu (người)

Vậy sân số sau 10 năm là: u₁₁ = 1,8.(1.014)¹⁰ ≈ 2.1 triệu (người).

Giải bài 6 lớp 11 đại số trang 104  sách giáo khoa

Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C₁ (hình bên). Từ hình vuông C₂ lại tiếp tục như trên để được hình vuông C₃…Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C₁, C₂, C₃, …, C_n

Hướng dẫn giải

Số hạng thứ n của cấp số nhân được tính bằng công thức 

trong đó n là số nguyên thỏa mãn 

- Công bội khi đó là: 

 hoặc 

 trong đó n là số nguyên thỏa mãn 

Lời giải:

Gọi 

 là độ dài cạnh của hình vuông C_n. Chứng minh dãy số (a_n) là một cấp số nhân.

Cạnh của hình vuông C₁ là: a₁ = 4 (giả thiết)

Theo giả thiết cạnh hình vuông chia thành 4 phần bằng nhau nên theo định lí Pi-ta-go (Pythagore), ta có:

- Cạnh hình vuông thứ hai: C₂ = a₂ = 

- Cạnh hình vuông thứ ba:

Tổng quát cạnh 

 là:

, 

Vậy dãy số (a_n) là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 4, công bội q = 

CLICK NGAY vào TẢI VỀ dưới đây để download hướng dẫn giải bài Toán lớp 11 SGK tập 1 trang 103, 104 file word, pdf hoàn toàn miễn phí.