Giải toán lớp 11 trang 92 SGK tập 1: Dãy số

Giải bài tập Toán 11 bài 2: Dãy số, nội dung tài liệu bao gồm 5 bài tập trang 92 SGK kèm theo lời giải chi tiết sẽ là nguồn thông tin hữu ích để phục vụ các bạn học sinh có kết quả cao hơn trong học tập. Mời thầy cô cùng các bạn học sinh tham khảo.

Giải bài 1 trang 92 SGK đại số lớp 11

Viết năm số hạng đầu của dãy số có số hạng tổng quát u_n cho bởi công thức:

Hướng dẫn giải

Ứng với mỗi giá trị của n ta thu được một số hạng của dãy số. Thay n = 1, 2, 3, 4, 5 vào dãy số đã cho ta được kết quả bài toán.

Lời giải:

Giải bài 2 SGK trang 92 đại số lớp 11 

Cho dãy số (un), biết 

, u_{n+ 1} = u_n + 3 với n ≥ 1.

a. Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: 

Hướng dẫn giải

a. Thay n = 1 vào dãy số ta được 

, thay giá trị  vào biểu thức ta nhận được 

Tương tự thay n = 2, 3, 4 vào dãy số ta được

rồi thay lần lượt theo thứ tự  vào biểu thức.

Ta được năm số hạng đầu của dãy số.

b. Các bước để chứng minh quy nạp:

- Quy trình 3 bước:

+ Bước cơ sở: Chứng minh A(0) đúng.

+ Bước quy nạp: Chứng minh với tất cả các số thứ tự bất kì tiếp theo n + 1

A(n + 1) là hệ quả của A(n).

+ Bước giới hạn: Chứng minh rằng với mọi thứ tự giới hạn k, A(k) là hệ quả của A(m) với mọi m < k.

Lời giải:

a. u₁ = - 1, u_{n+ 1} = u_n + 3 với n > 1

u₁ = - 1 ; u₂ = u₁ + 3 = - 1 + 3 = 2

Ta có: u₃ = u₂ + 3 = 2 + 3 = 5

u₄ = u₃ + 3 = 5 + 3 = 8

u₅ = u₄ + 3 = 8 + 3 = 11

b. Chứng minh phương pháp quy nạp: u_n = 3n – 4 (1)

Khi n = 1 thì u₁ = 3.1 - 4 = - 1, vậy (1) đúng với n = 1.

Giả sử công thức (1) đúng với n = k > 1 tức là u_k = 3k – 4 (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là u_k+1 = 3(k + 1) – 4 = 3k – 1

Theo giả thiết: u_k+1 = u_k + 3

(2) 

= 3k – 4 + 3 = 3 ( k + 1) – 4

(1) đúng với n = k + 1

Vậy (1) đúng với n ∈ N*

Giải bài 3 đại số lớp 11 SGK trang 92

Dãy số (u_n) cho bởi u₁ = 3, 

 , n > 1

a. Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát 

 và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Hướng dẫn giải

a. Tương tự bài 2.

b. Quan sát kết quả câu a ta thấy 

. Chứng minh bằng phương pháp qui nạp

- Quy trình 3 bước:

+ Bước cơ sở: Chứng minh A(0) đúng.

+ Bước quy nạp: Chứng minh với tất cả các số thứ tự bất kì tiếp theo n + 1

A(n + 1) là hệ quả của A(n).

+ Bước giới hạn: Chứng minh rằng với mọi thứ tự giới hạn k, A(k) là hệ quả của A(m) với mọi m < k.

Lời giải:

a. Năm số hạng đầu của dãy số

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số:

u_n =

 (1)

Rõ ràng (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là u_k = √(k+8)

Vậy (1) đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ∈ N*.

Giải bài 4 trang 92 đại số lớp 11 SGK

Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n), biết:

Hướng dẫn giải

♦ Dãy số (

) gọi là dãy tăng nếu  < +1 ∀n ∈ 

♦ Dãy số (

) gọi là dãy giảm nếu  > +1 ∀n ∈ 

Lời giải:

∀n ∈ N*, n ≥ 1 => u_n+1 – u_n > 0

=> u_n+1 > u_n => (u_n) là dãy số tăng

c. u_n = (-1)ⁿ(2ⁿ + 1)

Nhận xét:

{(-1)ⁿ > 0 nếu n chẵn {u_n > 0 nếu n chẵn

{(-1)ⁿ < 0 nếu n lẻ {u_n < 0 nếu n lẻ

Và 

+ 1 > 0 ∀ n ∈ N*

=>u₁ < 0, u₂ > 0, u₃ < 0, u₄> 0,…

=>u₁ < u₂, u₂ > u₃, u₃ < u₄,…

=> Dãy số (u_n) không tăng, không giảm.

Giải bài 5 đại số trang 92 lớp 11 SGK

Trong các dãy số (u_n) sau, dãy nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

Hướng dẫn giải

♦ Dãy số (

) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực sao cho  < M ∀n ∈ 

♦ Dãy số (

) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực sao cho  > m ∀n ∈ 

♦ Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương M sao cho |

 | < M ∀n ∈ 

Lời giải:

a. u_n = 2n² – 1

Ta có: n ≥ 1

<=> n² ≥ 1 <=> 2n² ≥ 2 <=> 2n² -1≥1

Hay u_n ≤ 1

=> dãy (u_n) bị chặn dưới ∀n ∈ N*.

Nhưng (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa:

u_n = 2n² – 1 ≤ M ∀n ∈N*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Vậy dãy số vừa bị chặn dưới vừa bị chặn trên, do đó bị chặn.

d. u_n = sin n + cos n

Vậy dãy số (u_n) bị chặn n ∈ N*

CLICK NGAY vào nút TẢI VỀ dưới đây để giải toán lớp 11 SGK trang 92 file word, pdf hoàn toàn miễn phí.