Giải SBT Toán 9 trang 57, 58, 59 Tập 2: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Giải bài tập sách bài tập Toán lớp 9: Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng được chúng tôi sưu tầm và đăng tải. Đây là lời giải kèm phương pháp giải hay các bài tập trong chương trình Sách bài tập Toán 9. Là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các em học sinh và quý thầy cô giáo tham khảo và đối chiếu đáp án chính xác, chuẩn bị tốt cho việc tiếp thu, giảng dạy bài học mới đạt hiệu quả.

Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Bài 35 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức vi-ét:

a. 5x² + 2x -16 = 0    

b. 3x² - 2x - 5 = 0

Lời giải:

a. Phương trình 5x² + 2x - 16 = 0 có hệ số a = 5, b = 2, c = -16

Ta có: Δ' = 1² - 5(-16) = 1 + 80 = 81 > 0

√Δ' = √81 = 9

b. Phương trình 3x² - 2x - 5 = 0 có hệ số a = 3, b = -2, c = -5

Ta có: Δ' = (-1)² -3(-5) = 1 + 15 = 16 > 0

√Δ' = √16 = 4

c. Phương trình 1/3.x² + 2x - 16/3 ⇔ x² +6x – 16 = 0 có hệ số a = 1, b = 6, c = -16

Δ' = 3² - 1(-16) = 9 + 16 = 25 > 0

√Δ' = √25 = 5

d. Phương trình 1/2.x² - 3x + 2 = 0 ⇔ x² -6x +4 =0 có hệ số a=1,b=-6,c=4

Ta có: Δ' = (-3)² - 1.4 = 9 - 4 = 5 > 0

√Δ' = √5

Bài 36 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình

a. 2x² – 7x + 2 = 0    

b. 2x² + 9x + 7 = 0

c. (2 - √3)x² + 4x + 2 + √2 = 0    

d. 1,4x² - 3x + 1,2 = 0

e. 5x² + x + 2 = 0

Lời giải:

a. Ta có: Δ = (-7)² - 4.2.2 = 49 - 16 = 33 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ = -b/a = 7/2 ;x₁x₂ = c/a = 2/2 = 1

b) 2x² + 9x + 7 = 0

Δ = 9² - 4.2.7 = 81 - 56 = 25 > 0

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi – et ta có:

c. Ta có: Δ’ = 2² – (2 - √3)(2 + √2) = 4 - 4 - 2√2 + 2√3 + √6

= 2√3 - 2√2 + √6 > 0

Phương trình 2 nghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

d. Ta có : Δ = (-3)² -4.1, 4.1,2 = 9 – 6,72 = 2,28 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ = -b/a = 3/(1,4) = 30/14 = 15/7; x₁x₂ = c/a = (1,2)/(1,4) = 12/14 = 6/7

Ta có: Δ = 1² -4.5.2 = 1 - 40 = -39 < 0

e. Ta có: Δ = 1² -4.5.2 = 1 - 40 = -39 < 0.

Bài 37 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a. 7x² -9x +2=0 b.23x² -9x -32=0

c. 1975x² + 4x -1979 = 0

d. (5 + √2)x² + (5 - √2)x - 10 = 0

    

f. 31,1x² – 50,9x + 19,8 = 0

Lời giải:

a. Phương trình 7x² -9x +2 = 0 có hệ số a = 7, b = -9, c = 2

Ta có: a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1, x₂ = c/a = 2/7

b. Phương trình 23x² - 9x – 32 = 0 có hệ số a = 23, b = -9, c = -32

Ta có: a – b + c = 23 – (-9) + (-32) = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = -1,x₂ = -c/a = -(-32)/23 = 32/23

c. Phương trình 1975x² + 4x -1979 = 0 có hệ số a = 1975, b = 4, c = -1979

Ta có: a +b +c =1975 + 4 + (-1979) = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1, x₂ = c/a = -1979/1975

d. Phương trình (5 + √2)x² + (5 - √2)x - 10 = 0 có hệ số

a = 5 +√2, b = 5 - √2, c = -10

Ta có: a + b + c = 5 + √2 + 5 - √2 + (-10) = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1, x₂ = c/a = (-10)/(5 + √2)

 

⇔ 2x² - 9x - 11 = 0 có hệ số a = 2, b = -9, c = -11

Ta có: a – b + c = 2 – (-9) +(-11) = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = -1, x₂ = -c/a = -(-11)/2 = 11/2

f. Phương trình 31,1x² – 50,9x + 19,8 = 0

⇔ 311x² – 509x +198 = 0 có hệ số a = 311, b = -509, c = 198

Ta có: a + b + c = 311 + (-509) + 198 = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1, x₂ = c/a = 198/311.

Bài 38 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a. x² - 6x + 8 = 0    

b. x² - 12x + 32 = 0

c. x² + 6x + 8 = 0    

d. x² - 3x - 10 = 0

e. x² + 3x - 10 = 0

Lời giải:

a. Ta có: Δ’ = (-3)² -1.8 = 9 - 8 = 1 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

Giải ra ta được x₁ = 2, x₂ = 4

b. Ta có: Δ’ = (-6)² -1.32 = 36 - 32 = 4 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

Giải ra ta được x₁ =4,x₂ =8

c. Ta có: Δ’ = 3² -1.8 = 9 - 8 = 1 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

Giải ra ta được x₁ =-2, x₂ =-4

d. Ta có: Δ = (-3)² - 4.1.(-10) = 9 + 40 = 49 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

Giải ra ta được x₁ =-2, x₂ =5

e. Ta có: Δ = 3² - 4.1.(-10) = 9 + 40 = 49 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

Giải ra ta được: x₁ = 2, x₂ = -5.

Bài 39 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

a. Chứng tỏ rằng phương trình 3x² +2x -21 =0 có một nghiệm là -3.Hãy tìm nghiệm kia

b. Chứng tỏ rằng phương trình -4x² -3x +115=0 có một nghiệm là 5.Hãy tìm nghiệm kia

Lời giải:

a. Thay x = -3 vào vế trái của phương trình , ta có:

3.(-3)² + 2(-3) - 21 = 27 – 6 - 21 = 0

Vậy x = -3 là nghiệm của phương trình 3x² + 2x - 21 = 0

Theo hệ thức vi-ét ta có : x₁x₂ = c/a = -21/3 = -7 ⇒ x₂ = -7/x₁ = -7/-3 = 7/3

Vậy nghiệm còn lại là x = 7/3

b. Thay x = 5 vào vế trái của phương trình ,ta có:

-4.5² - 3.5 + 115 = -100 -15 + 115 = 0

Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình -4x² - 3x + 115 = 0

Theo hệ thức Vi-ét ta có : x₁x₂ = c/a = 115/-4 ⇒ 5x₂ = -115/4 ⇒ x₂ = -23/4

Vậy nghiệm còn lại là x = -23/4.

Bài 40 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Dùng hệ thức vi-ét để tìm nghiệm x₂ của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:

a. Phương trình x² + mx - 35 = 0 có nghiệm x₁ = 7

b. Phương trình x² - 13x + m = 0 có nghiệm x₁ = 12,5

c. Phương trình 4x² + 3x – m² + 3m = 0 có nghiệm x₁ = -2

d. Phương trình 3x² - 2(m - 3)x + 5 = 0 có nghiệm x₁ = 1/3

Lời giải:

a. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ = -35

Suy ra 7x₂ = -35 ⇔ x₂ = -5

Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ = -m

Suy ra: m = -7 +5 ⇔ m = -2

Vậy với m = -2 thì phương trình x² + mx - 35 = 0 có hai nghiệm x₁ = 7, x₂ = -5

b. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ = 13

Suy ra 12,5 + x₂ = 13 ⇔ x₂ = 0,5

Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ = m

Suy ra: m = 12,5.0,5 ⇔ m = 6,25

Vậy với m = 6,25 thì phương trình x² - 13x + m = 0 có hai nghiệm

x₁ = 12,5 ,x₂ = 0,5

c. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ = - 3/4

Suy ra: -2 + x₂ = - 3/4 ⇔ x₂ = -3/4 + 2 = 5/4

Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ = (-m² + 3m)/4

Suy ra: -2. 5/4 = (-m² + 3m)/4 ⇔ m² - 3m - 10 = 0

Δ = (-3)² -4.1.(-10) = 9 + 40 = 49

√Δ = √49 = 7

m₁ = (3 + 7)/(2.1) = 5; m₂ =(3 - 7)/(2.1) = -2

Vậy với m = 5 hoặc m = -2 thì phương trình 4x² + 3x – m² + 3m = 0 có hai nghiệm x₁ = -2, x₂ = 5/4

d. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ = 5/3

Suy ra: 1/3.x₂ = 5/3 ⇔ x₂ = 5/3 : 1/3 = 5/3.3 = 5

cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ = [2(m - 3)]/3

Suy ra: 1/3 + 5 = [2(m - 3)]/3 ⇔ 2(m - 3) =16 ⇔ m - 3 = 8 ⇔ m = 11

Vậy với m = 11 thì phương trình 3x² - 2(m - 3)x + 5 = 0 có hai nghiệm x₁ = 1/3 , x₂ = 5.

Bài 41 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a. u + v = 14, uv = 40    

b. u + v = -7, uv = 12

c. u + v = -5, uv = -24    

d. u + v = 4, uv = 19

e. u – v = 10, uv = 24    

f. u² + v² = 85, uv = 18

Lời giải:

a. Hai số u và v với u + v = 14 và uv = 40 nên nó là nghiệm của phương trình x² - 14x + 40 = 0

Δ’= (-7)² – 1.40 = 49 - 40 = 9 > 0

√Δ' = √9 = 3

Vậy u = 10, v = 4 hoặc u = 4, v = 10

b. Hai số u và v với u + v = -7 và uv = 12 nên nó là nghiệm của phương trình x² + 7x + 12 = 0

Δ = (7)² – 4.1.12 = 49 - 48 = 1 > 0

√Δ = √1 = 1

Vậy u = -3, v = -4 hoặc u = -4, v = -3

c. Hai số u và v với u + v = -5 và uv = -24 nên nó là nghiệm của phương trình x² + 5x - 24 = 0

Δ= (5)² – 4.1.(-24) = 25 + 96 = 121 > 0

√Δ = √121 = 11

Vậy u = 3, v = -8 hoặc u = -8, v = 3

d. Hai số u và v với u +v = 4 và uv = 19 nên nó là nghiệm của phương trình x² - 4x + 19 = 0

Δ’ = (-2)² – 1.19 = 4 - 19 = -15 < 0

Phương trình vô nghiệm nên không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán

e. Ta có:

u - v = 10 ⇒ u + (-v) = 10

u.(-v) = -uv = -24

Do đó, u, -v là nghiệm của phương trình: x² - 10x - 24 = 0

Δ’ = (-5)² – 1.(-24) = 25 + 24 = 49 > 0

√Δ' = √49 = 7

Vậy u = 12, -v = -2 hoặc u = -2, -v = 12 suy ra u = 12, v = 2 hoặc u = -2, v = -12

f. Hai số u và v với u² + v² = 85 và uv = 18 suy ra : u²v² = 324 nên u² và v² là nghiệm của phương trình x² - 85x + 324 = 0

Δ = (-85)² – 4.1.324 = 7225 – 1296 = 5929 > 0

√Δ = √2959 = 77

Ta có: u² = 81 ,v² = 4 suy ra: u = ±9, v = ± 2

hoặc u² = 4, v² = 81 suy ra: u = ±2, v = ±9

Vậy nếu u = 9 thì v = 2 hoặc u = -9, v = -2

nếu u = 2 thì v = 9 hoặc u = -2, v = -9

Bài 42 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho mỗi trường hợp sau:

a. 3 và 5    

b.-4 và 7

c. -5 và 1/3    

d.1,9 và 5,1

e. 4 và 1 -√2    

f. 3 - √5 và 3 + √5

Lời giải:

a. Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình:

(x - 3)(x - 5) = 0 ⇔ x² - 3x - 5x + 15 = 0 ⇔ x² - 8x + 15 = 0

b. Hai số -4 và 7 là nghiệm của phương trình:

(x + 4)(x - 7) = 0 ⇔ x² + 4x - 7x - 28 = 0 ⇔ x² - 3x - 28 = 0

c. Hai số -5 và 1/3 là nghiệm của phương trình:

(x + 5)(x - 1/3) = 0 ⇔ x² + 5x - 1/3x - 5/3 = 0 ⇔ 3x² + 14x - 5 = 0

d. Hai số 1,9 và 5,1 là nghiệm của phương trình:

(x - 1,9)(x - 5,1) = 0 ⇔ x² - 1,9x - 5,1x + 9,69 = 0

⇔ x² - 7x + 9,69 = 0

e. Hai số 4 và 1 -√2 là nghiệm của phương trình:

(x - 4)[x – (1 - √2 )] = 0 ⇔ (x - 4)(x - 1 + √2) = 0

⇔ x² - x + √2 x - 4x + 4 - 4√2 = 0

⇔ x² – (5 - √2 )x + 4 - 4√2 = 0

f. Hai số 3 - √5 và 3 + √5 là nghiệm của phương trình:

[x – (3 - √5 )][ x – (3 + √5 )] = 0

⇔ x² – (3 + √5 )x - (3 - √5 )x +(3+ √5)(3 - √5) = 0

⇔ x² - 6x + 4 = 0.

Bài 43 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Cho phương trình x² + px – 5 = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a. –x₁ và –x₂

b. 1/x₁ và 1/x₂

Lời giải:

a. Phương trình x₂ + px - 5 = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂ nên theo hệ thức vi-ét ta có:

x₁ + x₂ = -p/1 = -p; x₁x₂ = -5/1 = -5     (1)

Hai số –x₁ và –x₂ là nghiệm của phương trình:

[x – (-x₁)].[x – (-x₂)] = 0

⇔ x² – (-x₁x) – (-x₂x) + (-x₁)(-x₂) = 0

⇔ x² + x₁x + x₂x + x₁x₂ = 0

⇔ x² + (x₁ + x₂ )x + x₁x₂ = 0     (2)

Từ (1) và (2) ta có phuơng trình cần tìm là x² – px - 5 = 0.

Bài 44 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Cho phương trình x² - 6x + m = 0

Tính giá trị của m biết rằng phương trình có hai nghiệm x₁,x₂ thỏa mãn điều kiện x₁ – x₂ = 4

Lời giải:

Phương trình x² - 6x + m = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂ nên theo hệ thức Vi-ét ta có:

x₁ + x₂ = -(-6)/1 = 6

Kết hợp với điều kiện x₁ – x₂ = 4 ta có hệ phương trình :

Áp dụng hệ thức vi-ét vào phương trình x² - 6x + m = 0 ta có:

x₁x₂ = m/1 = m . Suy ra : m = 5.1 = 5

Vậy m = 5 thì phương trình x² - 6x + m = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂ thỏa mãn điều kiện x₁ – x₂ = 4.

Bài tập bổ sung (trang 58 - 59)​​​​​​​

Bài 1 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0.

Lời giải:

Bài 2 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² + px + q = 0. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x₁ + x₂, x₁x₂.

Lời giải:

Giả sử x₁, x₂ là nghiệm của phương trình: x² + px + q = 0

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ = - p/1 = - p;x₁x₂ = q/1 = q

Phương trình có hai nghiệm là x₁ + x₂ và x₁x₂ tức là phương trình có hai nghiệm là –p và q.

Hai số -p và q là nghiệm của phương trình.

(x + p)(x - q) = 0 ⇔ x² - qx + px - pq = 0 ⇔ x² + (p - q)x - pq = 0

Phương trình cần tìm: x² + (p - q)x - pq = 0.

Bài 3 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Dùng định lý Vi – ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức ax² + bx + c có hai nghiệm x₁, x₂ thì nó phân tích được thành ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)

Lời giải:

Bài 4 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Cho phương trình

(SBT)

a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

b) Khi phương trình có nghiệm x₁, x₂, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Lời giải:

Ngoài ra các em học sinh và thầy cô có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu hữu ích đầy đủ các môn được cập nhật liên tục tại chuyên trang của chúng tôi.

►►CLICK NGAY vào nút TẢI VỀ dưới đây để tải về Giải SBT Toán 9 trang 57, 58, 59: Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng file Word, pdf hoàn toàn miễn phí!