Giải SBT Toán Hình học 12 trang 103, 104 tập 2 Bài 1 đầy đủ

Với bộ tài liệu giải sách bài tập toán Hình học 12 tập 2 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian, hướng dẫn cách giải chi tiết cho từng câu hỏi, từng phần học bám sát nội dung chương trình SBT bộ môn Toán lớp 12. Nội dung chi tiết các em xem tại đây.

Giải Bài 3.1 trang 103 SBT toán 12 tập 2

Trong không gian Oxyz cho ba vecto a→ = (2; −1; 2), b→ = (3; 0; 1), c→ = (−4; 1; −1). Tìm tọa độ của các vecto m→ và n→ biết rằng:

a) m→ = 3a→ − 2b→ + c→

b) n→ = 2a→ + b→ + 4c→

Lời giải:

a) m→ = (−4; −2; 3)

b) n→ = (−9; 2; 1)

Giải Bài 3.2 trang 103 SBT toán 12 tập 2

Trong không gian Oxyz cho vecto a→ = (1; −3; 4).

a) Tìm y₀ và z₀ để cho vecto b→ = (2; y₀; z₀) cùng phương với a→

b) Tìm tọa độ của vecto c→ biết rằng a→ và c→ ngược hướng và |c→| = 2|a→|

Lời giải:

a) Ta biết rằng a→ và b→ cùng phương khi và chỉ khi a→ = kb→ với k là một số thực. Theo giả thiết ta có: b→ = (x₀; y₀; z₀) với x₀ = 2. Ta suy ra k = 1/2 nghĩa là l = x₀/2

Do đó: −3 = y₀/2 nên y₀ = -6

4 = z₀/2 nên z₀ = 8

Vậy ta có b→ = (2; −6; 8)

b) Theo giả thiết ta có c→ = −2a→

Do đó tọa độ của c→ là: c→ = (-2; 6; -8).

Giải Bài 3.3 trang 103 SBT toán 12 tập 2

Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x₀; y₀; z₀). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Lời giải:

Gọi M’, M’’, M’’’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Ta có:

     • M’(x₀; y₀; 0)

     • M’’ (0; y₀; z₀)

     • M’’’(x₀; 0; z₀)

Giải Bài 3.4 trang 103 SBT toán 12 tập 2

Cho hai bộ ba điểm:

a) A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1)

b) M = (1; 1; 1), N = (-4; 3; 1), P = (-9; 5; 1)

Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?

Lời giải:

a) Ta có: AB→ = (−1; −2; 1)

AC→ = (−1; −3; 0)

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto AB→ và AC→ cùng phương, nghĩa là AB→ = kAC→ với k là một số thực.

Giả sử ta có AB→ = kAC→

khi đó 

Ta không tìm được số k nào thỏa mãn đồng thời cả ba đẳng thức trên. Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Ta có: MN→ = (−5; 2; 0) và MP→ = (−10; 4; 0). Hai vecto MN→ và MP→ thỏa mãn điều kiện: MN→ = kMP→ với k = k/2 nên ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Giải Bài 3.5 trang 103 SBT toán 12 tập 2

Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).

Lời giải:

Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z. Ta có:

MA² = (1 – x)² + 1 + (1 – z)²

MB² = (–1 – x)² + 1 + z²

MC² = (3 – x)² + 1 + (–1 – z)²

Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA² = MB² = MC²

Từ đó ta tính được 

Giải Bài 3.6 trang 103 SBT toán 12 tập 2

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

Lời giải:

a) Ta có: AC→ = AD→ + DC→

BD→ = BC→ + CD→

Do đó: AC→ + BD→ = AD→ + BC→ vì DC→ = -CD→

b) Vì AB→ = AD→ + DB→ và AD→ = AC→ + CD→ nên AB→ = AC→ + CD→ + DB→

Do đó: 2AB→ = AC→ + AD→ + CD→ + 2DB→

Vậy

Giải Bài 3.7 trang 103 SBT toán 12 tập 2

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) AB→ + CD→ = AD→ + CB→ = 2MN→

 

b) AB→ − CD→ = AC→ BD→ = 2PQ→

 

Lời giải:

a) Ta có MPNQ là hình bình hành vì

Do đó

hay 

Mặt khác 

Nên

Vì

Từ (1) và (2) ta có:

là đẳng thức cần chứng minh

b) Ta có:

Do đó:

Mặt khác:

Nên

Vì 

Từ (3) và (4) ta suy ra

là đẳng thức cần chứng minh.

Giải Bài 3.8 trang 103 SBT toán 12 tập 2

Trong không gian cho ba vecto tùy ý a→, b→, c→.

Gọi u→ = a→ − 2b→, v→ = 3b→ − c→, w→ = 2 c→ − 3a→.

Chứng tỏ rằng ba vecto u→, v→, w→ đồng phẳng.

Lời giải:

Muốn chứng tỏ rằng ba vecto u→, v→, w→ đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho w→ = pu→ + qv→.

Giả sử có w→ = pu→ + qv→

2c→ – 3a→ = p(a→ – 2b→) + q(3b→ − c→)

⇔ (3 + p)a→ + (3q − 2p)b→ − (q + 2)c→ =0→ (1)

Vì ba vecto lấy tùy ý a→, b→, c→ nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

Như vậy ta có: w→ = −3u→ − 2v→ nên ba vecto u→, v→, w→ đồng phẳng.

Giải Bài 3.9 trang 104 SBT toán 12 tập 2

Trong không gian Oxyz cho một vecto a→ tùy ý khác vecto 0→. Gọi α, β, γ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị i→, j→, k→ trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto a→. Chứng minh rằng: cos²α + cos²β + cos²γ = 1

Lời giải:

Gọi a₀→ là vecto đơn vị cùng hướng với vecto a→

ta có 

GọiOA₀→ = a₀→ và các điểm A₁, A₂, A₃ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A₀ trên các trục Ox, Oy, Oz.

Khi đó ta có:

Vì

Ta có:

ta suy ra:

hay

Vì OA₀→ = a₀→ mà |a₀→ | = 1 nên ta có: cos²α + cos²β + cos²γ = 1

Giải Bài 3.10 trang 104 SBT toán 12 tập 2

Cho hình tứ diện ABCD.

a) Chứng minh hệ thức:

b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”

Lời giải:

a) Ta có

Lấy (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là:

b) Từ hệ thức trên ta suy ra định lí: “Nếu tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ DB, nghĩa là AB→. CD→ = 0 và AC→.DB→ = 0 thì AD→. BC→ = 0 và do đó AD ⊥ BC.”

Giải Bài 3.11 trang 104 SBT toán 12 tập 2

Tính tích vô hướng của hai vecto a→, b→ trong không gian với các tọa độ đã cho là:

a) a→ = (3; 0; −6), b→ = (2; −4; c)

b) a→ = (1; −5; 2), b→ = (4; 3; −5)

c) a→ = (0; √2; √3), b→ =(1; √3; −√2)

Lời giải:

a) a→. b→ = 6(1 − c);

b) a→. b→ = −21;

c) a→. b→ = 0

Giải Bài 3.12 trang 104 SBT toán 12 tập 2

Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) A(4; -1; 1), B(2; 1; 0)

b) A(2; 3; 4), B(6; 0; 4)

Lời giải:

a) |AB→| = 3

b) |AB→| = 5

Giải Bài 3.13 trang 104 SBT toán 12 tập 2

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:

A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.

Lời giải:

Ta có: AB→ = (−a; b; 0) và AC→ = (−a; 0; c)

Vì AB→. AC→ = a² > 0 nên góc ∠BAC là góc nhọn.

Lập luận tương tự ta chứng minh được các góc ∠B và ∠C cũng là góc nhọn.

Giải Bài 3.14 trang 104 SBT toán 12 tập 2

Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(5; -3; 7) và có bán kính r = 2.

b) Có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ;

c) Đi qua điểm M(2; -1; -3) và có tâm C(3; -2; 1)

Lời giải:

a) (x – 5)² + (y + 3)² + (z – 7)² = 4 ;

b) (x – 4)² + (y + 4)² + (z – 2)² = 36;

c) (x – 3)² + (y + 2)² + (z – 1)² = 18.

Giải Bài 3.15 trang 104 SBT toán 12 tập 2

Trong không gian Oxyz hãy xác định tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x² + y²0 + z² – 6^x + 2^y – 16^z – 26 = 0 ;

b) 2x² + 2y² + 2z² + 8x – 4y – 12z – 100 = 0

Lời giải:

a) Tâm I(3; -1; 8), bán kính r = 10;

b) Tâm I(-2; 1; 3), bán kính r = 8.

Giải Bài 3.16 trang 104 SBT toán 12 tập 2

Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Lời giải:

Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Vì

A ∈ (S) nên ta có: 1 – 2a + d =0 (1)

B ∈ (S) nên ta có: 4 + 4b + d = 0 (2)

C ∈ (S) nên ta có: 16 – 8c + d = 0 (3)

D ∈ (S) nên ta có: d = 0 (4)

Giải hệ 4 phương trình trên ta có: d = 0, a = 1/2, b = −1,c = 2.

Vậy mặt cầu (S) cần tìm có phương trình là: x² + y² + z² –x + 2y – 4z = 0

Phương trình mặt cầu (S) có thể viết dưới dạng:

Vậy mặt cầu (S) có tâm I(1/2; -1; 2) và có bán kính 

►►CLICK NGAY vào nút TẢI VỀ dưới đây để tải về giải SBT toán hình lớp 12 tập 2 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian, file PDF hoàn toàn miễn phí.