Giải Toán lớp 9 trang 50, 51, 52, 53, 54 SGK Tập 2 (Chính xác)

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 6: Hệ thức Vi - ét và ứng dụng được chúng tôi sưu tầm và đăng tải. Đây là lời giải kèm phương pháp giải hay các bài tập trong chương trình SGK Toán 9. Là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các em học sinh và quý thầy cô giáo tham khảo và đối chiếu đáp án chính xác, chuẩn bị tốt cho việc tiếp thu, giảng dạy bài học mới đạt hiệu quả

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Giải bài tập Toán lớp 9 SGK Tập 2 trang 50, 51, 52, 53, 54

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 50:

Hãy tính x₁ + x₂, x₁x₂.

Lời giải

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 51:

Cho phương trình 2x² – 5x + 3 = 0.

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.

b) Chứng tỏ rằng x₁ = 1 là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm x₂.

Lời giải

a) a = 2; b = -5; c = 3

⇒ a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0

b) Thay x = 1 vào phương trình ta được:

2.1² - 5.1 + 3 = 0

Vậy x = 1 là một nghiệm của phương trình

c) Theo định lí Vi-et ta có:

x₁.x₂ = c/a = 3/2 ⇒ x₂ = 3/2

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 51:

Cho phương trình 3x² + 7x + 4 = 0.

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.

b) Chứng tỏ rằng x₁ = -1 là một nghiệm của phương trình.

c) Tìm nghiệm x₂.

Lời giải

a) a = 3; b = 7; c = 4

⇒ a + b + c = 3 - 7 + 4 = 0

b) Thay x = -1 vào phương trình ta được:

3.(-1)² + 7.(-1) + 4 = 0

Vậy x = - 1 là một nghiệm của phương trình

c) Theo định lí Vi-et ta có:

x₁.x₂ = c/a = 4/3 ⇒ x₂ = 4/3:(-1) = -4/3

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 52:

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) -5x² + 3x + 2 = 0;

b) 2004x² + 2005x + 1 = 0.

Lời giải

a) -5x² + 3x + 2 = 0;

Nhận thấy phương trình có a + b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm

x₁ = 1; x₂ = c/a = (-2)/5

b) 2004x² + 2005x + 1 = 0

Nhận thấy phương trình có a - b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm

x₁ = -1; x₂ = -c/a = (-1)/2004

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 52:

Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.

Lời giải

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² - x + 5 = 0

Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4.1.5 = -19 < 0

⇒ phương trình vô nghiêm

Vậy không tồn tại 2 số có tổng bằng 1 và tích bằng 5

Bài 25 (trang 52 SGK Toán 9 Tập 2):

Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x₁ và x₂ là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...):

a) 2x² – 17x + 1 = 0;

    Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

b) 5x² – x – 35 = 0;

    Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

c) 8x² – x + 1 = 0 ;

    Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

d) 25x² + 10x + 1 = 0 ;

    Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0, có Δ = b² – 4ac.

Khi Δ ≥ 0, phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-et:

Lưu ý: Trước khi áp dụng hệ thức Vi-et, bắt buộc phải kiểm tra Δ xem phương trình có nghiệm hay không.  

Lời giải

a) 2x² – 17x + 1 = 0

Có a = 2; b = -17; c = 1

Δ = b² – 4ac = (-17)² – 4.2.1 = 281 > 0.

Theo hệ thức Vi-et: phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn:

    x₁ + x₂ = -b/a = 17/2

    x₁.x₂ = c/a = 1/2.

b) 5x² – x – 35 = 0

Có a = 5 ; b = -1 ; c = -35 ;

Δ = b² – 4ac = (-1)² – 4.5.(-35) = 701 > 0

Theo hệ thức Vi-et, phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn:

    x₁ + x₂ = -b/a = 1/5

    x₁.x₂ = c/a = -35/5 = -7.

c) 8x² – x + 1 = 0

Có a = 8 ; b = -1 ; c = 1

Δ = b² – 4ac = (-1)² – 4.8.1 = -31 < 0

Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại x₁ ; x₂.

d) 25x² + 10x + 1 = 0

Có a = 25 ; b = 10 ; c = 1

Δ = b² – 4ac = 10² – 4.25.1 = 0

Khi đó theo hệ thức Vi-et có:

    x₁ + x₂ = -b/a = -10/25 = -2/5

    x₁.x₂ = c/a = 1/25.

Bài 26 (trang 53 SGK Toán 9 Tập 2):

Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 35x² – 37x + 2 = 0;

b) 7x² + 500x – 507 = 0;

c) x² – 49x – 50 = 0;

d) 4321x² + 21x – 4300 = 0.

Phương pháp giải:

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x₁ = 1; nghiệm còn lại x₂ = c/a.

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x₁ = -1; nghiệm còn lại x₂ = -c/a.

Lời giải

a) Phương trình 35x² – 37x + 2 = 0

Có a = 35; b = -37; c = 2 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = c/a = 2/35.

b) Phương trình 7x² + 500x – 507 = 0

Có a = 7; b = 500; c = -507 ⇒ a + b + c = 7 + 500 – 507 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = c/a = -507/7.

c) Phương trình x² – 49x – 50 = 0

Có a = 1; b = -49; c = -50 ⇒ a – b + c = 1 – (-49) – 50 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = -1; x₂ = -c/a = 50.

d) Phương trình 4321x² + 21x – 4300 = 0

Có a = 4321; b = 21; c = -4300 ⇒ a – b + c = 4321 – 21 – 4300 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = -1; x₂ = -c/a = 4300/4321.

Bài 27 (trang 53 SGK Toán 9 Tập 2):

Dùng hệ thức Vi-et để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.

a) x² – 7x + 12 = 0;

b) x² + 7x + 12 = 0.

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0, có Δ = b² – 4ac.

Khi Δ ≥ 0, phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-et:

Lưu ý: Trước khi áp dụng hệ thức Vi-et, bắt buộc phải kiểm tra Δ xem phương trình có nghiệm hay không. 

Lời giải

a) x² – 7x + 12 = 0

Có a = 1; b = -7; c = 12

⇒ Δ = b² – 4ac = (-7)² – 4.1.12 = 1 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn:

Vậy dễ dàng nhận thấy phương trình có hai nghiệm là 3 và 4.

b) x² + 7x + 12 = 0

Có a = 1; b = 7; c = 12

⇒ Δ = b² – 4ac = 7² – 4.1.12 = 1 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn:

Vậy dễ dàng nhận thấy phương trình có hai nghiệm là -3 và -4.

Bài 28 (trang 53 SGK Toán 9 Tập 2):

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 32 , uv = 231

b) u + v = -8, uv = -105

c) u + v = 2, uv = 9

Phương pháp giải:

Nếu hai số có tổng bằng S, tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x² – S.x + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là : S² – 4P ≥ 0.

Lời giải

a) S = 32; P = 231 ⇒ S² – 4P = 32² – 4.231 = 100 > 0

⇒ Tồn tại u và v là hai nghiệm của phương trình: x² – 32x + 231 = 0.

Ta có: Δ = (-32)² – 4.231 = 100 > 0

⇒ PT có hai nghiệm:

Vậy u = 21 ; v = 11 hoặc u = 11 ; v = 21.

b) S = -8; P = -105 ⇒ S² – 4P = (-8)² – 4.(-105) = 484 > 0

⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình: x² + 8x – 105 = 0

Ta có: Δ’ = 4² – 1.(-105) = 121 > 0

Phương trình có hai nghiệm:

Vậy u = 7 ; v = -15 hoặc u = -15 ; v = 7.

c) S = 2 ; P = 9 ⇒ S² – 4P = 2² – 4.9 = -32 < 0

⇒ Không tồn tại u và v thỏa mãn.

Bài 29 (trang 54 SGK Toán 9 Tập 2):

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a) 4x² + 2x – 5 = 0;

b) 9x² – 12x + 4 = 0;

c) 5x² + x + 2 = 0;

d) 159x² – 2x – 1 = 0.

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0, có Δ = b² – 4ac.

+ Nếu Δ < 0, phương trình vô nghiệm.

+ Nếu Δ ≥ 0, phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-et:

Lưu ý: Trước khi áp dụng hệ thức Vi-et, bắt buộc phải kiểm tra Δ xem phương trình có nghiệm hay không.  

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có a và c trái dấu, tức là a.c < 0 thì luôn có hai nghiệm phân biệt.  

Lời giải

a) Phương trình 4x² + 2x – 5 = 0

Có a = 4; b = 2; c = -5, a.c < 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x₁; x₂

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

b) Phương trình 9x² – 12x + 4 = 0

Có a = 9; b' = -6; c = 4 ⇒ Δ’ = (-6)² – 4.9 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂.

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

c) Phương trình 5x² + x + 2 = 0

Có a = 5; b = 1; c = 2 ⇒ Δ = 1² – 4.2.5 = -39 < 0

⇒ Phương trình vô nghiệm.

d) Phương trình 159x² – 2x – 1 = 0

Có a = 159; b = -2; c = -1; a.c < 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂.

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

Bài 30 (trang 54 SGK Toán 9 Tập 2):

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.

a) x² – 2x + m = 0;

b) x² + 2(m – 1)x + m² = 0.

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0, có Δ = b² – 4ac.

+ Nếu Δ < 0, phương trình vô nghiệm.

+ Nếu Δ ≥ 0, phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-et:

Lưu ý: Trước khi áp dụng hệ thức Vi-et, bắt buộc phải kiểm tra Δ xem phương trình có nghiệm hay không.  

Lời giải

a) Phương trình x² – 2x + m = 0

Có a = 1; b = -2; c = m nên b’= -1

⇒ Δ’ = (-1)² – 1.m = 1 – m

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔ 1 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1.

Khi đó, theo định lý Vi-et: 

Vậy với m ≤ 1, phương trình có hai nghiệm có tổng bằng 2; tích bằng m.

b) Phương trình x² + 2(m – 1)x + m² = 0

Có a = 1; b = 2(m – 1); c = m² nên b’ = m-1

⇒ Δ’ = b'² – ac = (m – 1)² – m² = - 2m + 1.

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔ - 2m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/2.

Khi đó, theo định lý Vi-et: 

Vậy với m ≤ ½, phương trình có hai nghiệm có tổng bằng -2(m – 1), tích bằng m².

Bài 31 (trang 54 SGK Toán 9 Tập 2):

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

Phương pháp giải:

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x₁ = 1; nghiệm còn lại x₂ = c/a.

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x₁ = -1; nghiệm còn lại x₂ = -c/a.

Lời giải

a) 1,5x² – 1,6x + 0,1 = 0

Có a = 1,5; b = -1,6; c = 0,1

⇒ a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x₁ = 1; x₂ = c/a = 1/15.

d) (m – 1)x² – (2m + 3)x + m + 4 = 0

Có a = m – 1 ; b = - (2m + 3) ; c = m + 4

⇒ a + b + c = (m – 1) – (2m + 3) + m + 4 = m -1 – 2m – 3 + m + 4 = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm 

Bài 32 (trang 54 SGK Toán 9 Tập 2):

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 42, uv = 441

b) u + v = -42, uv = -400

c) u – v = 5, uv = 24

Phương pháp giải:

Nếu hai số có tổng bằng S, tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x² – S.x + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là : S² – 4P ≥ 0.

Lời giải

a) S = 42; P = 441 ⇒ S² – 4P = 42² – 4.441 = 0

⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình: x² – 42x + 441 = 0

Có: Δ’ = (-21)² – 441 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = -b’/a = 21.

Vậy u = v = 21.

b) S = -42; P = -400 ⇒ S² – 4P = (-42)² – 4.(-400) = 3364 > 0

⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình: x² + 42x – 400 = 0

Có Δ’ = 21² – 1.(-400) = 841

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy u = 8; v = -50 hoặc u = -50; v = 8.

c) u – v = 5 ⇒ u + (-v) = 5

u.v = 24 ⇒ u.(-v) = -uv = -24.

Ta tìm u và –v. Từ đó, ta dễ dàng tính được u và v.

S= u + (-v) = 5; P = u. (-v) = -24 ⇒ S² – 4P = 5² – 4.(-24) = 121 > 0

⇒ u và –v là hai nghiệm của phương trình: x² – 5x – 24 = 0

Có Δ = (-5)² – 4.1.(-24) = 121

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

⇒ u = 8; -v = -3 hoặc u = -3; -v = 8

⇒ u = 8; v = 3 hoặc u = -3; v = -8.

Bài 33 (trang 54 SGK Toán 9 Tập 2):

Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm là x₁ và x₂ thì tam thức ax² + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:

ax² + bx + c = a( x - x₁)(x - x₂)

Áp dụng : phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 2x² - 5x + 3;    

b)3x² + 8x + 2

Lời giải

* Chứng minh:

Phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁; x₂

⇒ Theo định lý Vi-et: 

Khi đó : a.(x – x₁).(x – x₂)

= a.(x² – x₁.x – x₂.x + x₁.x₂)

= a.x² – a.x.(x₁ + x₂) + a.x₁.x₂

= 

= a.x² + bx + c (đpcm).

* Áp dụng:

a) 2x² – 5x + 3 = 0

Có a = 2; b = -5; c = 3

⇒ a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x₁ = 1; x₂ = c/a = 3/2

Vậy: 2x² - 5x + 3 = 2(x - 1)(x - 3/2)

b) 3x² + 8x + 2 = 0

Có a = 3; b' = 4; c = 2

⇒ Δ’ = 4² – 2.3 = 10 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Ngoài ra các em học sinh và thầy cô có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu hữu ích đầy đủ các môn được cập nhật liên tục tại chuyên trang của chúng tôi.

►►CLICK NGAY vào nút TẢI VỀ dưới đây để tải về hướng dẫn giải bài tập Toán lớp 9 SGK Tập 2 trang 50, 51, 52, 53, 54 file Word, pdf hoàn toàn miễn phí!